Limiti: forme indeterminate senza l'uso di limiti notevoli e teoremi. Come imparare?
Ciao a tutti, sto avendo ENORMI problemi con il calcolo delle forme indeterminate dei limiti di funzione. Il libro di esercizi del mio prof fa 3 o quattro esempi per ogni tipologia di forma indeterminata in cui illustra i "trucchetti" utili a sbrogliare la situazione e poi propone gli esercizi. A quanto ho visto anche cercando online sarebbe possibile usare pochi strumenti, raccoglimento, moltiplicare e dividere per lo stesso numero (per razionalizzare o per trovarsi la differenza tra due quadrati --> somma per la differenza), scomposizione e semplificazione.
Stavo cercando in rete altri esercizi svolti, ma ho l'impressione che anche guardando gli svolgimenti non risolverei il problema... il punto è questo, anche se capisco gli svolgimenti (in fondo si tratta di semplici passaggi algebrici) e magari imparo quel tipo di esercizio, quando mi trovo di fronte ad un esercizio nuovo anche se alla fine si tratta dell'uso degli stessi strumenti non riesco a trovare la soluzione.
In pratica sento di non avere una strategia, mi sembra di procedere a casaccio facendo le operazioni citate sopra fin quando non mi trovo per puro caso ad aver trovato la soluzione, anzi non è che mi sembra, è proprio quello che faccio. Tra l'altro mi perdo nei calcoli passando da una forma indeterminata all'altra e spesso facendo il giro tondo, moltiplico divido raccolgo semplifico girando intorno alla soluzione senza trovarla.
Capisco che in effetti quest'argomento richiede tanti esercizi ed essere un po' creativi, ma il modo in cui procedo io mi sembra completamente assurdo (tra l'altro mi richiederebbe un tempo enorme). Ho l'impressione invece che chi sia capace di svolgere questi esercizi non proceda a casaccio, ma faccia ragionamenti del tipo "qui mi conviene/provo ad eliminare questo termine" "qui mi conviene passare a quest'altra forma indeterminata usando questo stratagemma", cioè immagino che chi è capace, guardando la forma indeterminata che ha davanti, si renda conto di dove vuole arrivare (o almeno riesce ad immaginare in che modo può avere una forma più semplice di quella che ha davanti) e usa i vari trucchi per arrivarci. Insomma, penso che sia possibile un minimo di pianificazione oppure no? Si impara procedendo a casaccio affrontando quanti più "modelli" differenti possibile in modo da imparare tante situazioni diverse?
Concludo il messaggio proponendovi un esercizio su cui mi ero bloccato.
$lim_(x->0)$ $(1/2(1-cos3x) - 1/sin^2 3x)$
All'inizio ho provato ad addizionare i due termini e a semplificare ma mi sono ritrovato in un loop infinito XD. Poi per caso trovato la soluzione ma credo ci sia un modo più facile di procedere che non conosco. Ecco come ho fatto io:
moltiplico e divido per $(1+cos3x)$
$lim_(x->0)$ $ (1+cos3x)/(2(1-cos^2 3x)) - 1/(sin^2 3x) = lim_(x->0) ((sin^2 3x)(1+cos3x)-2(1-cos^2 3x))/((sin^2 3x)(1-cos^2 3x)2) = lim_(x->0) (1+cos3x-2)/((1-cos^2 3x)2) $
a questo punto non sapendo semplificare raccolgo
$lim_(x->0)$ $ ((1+cos3x)(1-2/(1+cos^2 3x)))/((1+cos3x)(1-cos3x)2) = lim_(x->0) 1/((1-cos^2 3x)2) - 2/(2(1-cos3x)(1+cos3x)) = lim_(x->0) (2(1-cos3x)(1+cos3x) - 2(1-cos3x))/(4(1-cos3x)(1-cos3x)(1+cos3x))$
a questo punto raccolgo (sopra) $(1-cos3x)$ semplifico e mi trovo
$lim_(x->0)$ $(cos3x)/(2(1-cos^2 3x)) = lim_(x->0) 1/2 * (cos3x)/((cos3x)(cos3x+1/(cos3x))) = lim_(x->0) 1/(2cos3x + 2/(cos3x)) = 1/4 $
---
Spero di essermi fatto capire, ringrazio chiunque mi volesse aiutare.
Saluti
Stavo cercando in rete altri esercizi svolti, ma ho l'impressione che anche guardando gli svolgimenti non risolverei il problema... il punto è questo, anche se capisco gli svolgimenti (in fondo si tratta di semplici passaggi algebrici) e magari imparo quel tipo di esercizio, quando mi trovo di fronte ad un esercizio nuovo anche se alla fine si tratta dell'uso degli stessi strumenti non riesco a trovare la soluzione.
In pratica sento di non avere una strategia, mi sembra di procedere a casaccio facendo le operazioni citate sopra fin quando non mi trovo per puro caso ad aver trovato la soluzione, anzi non è che mi sembra, è proprio quello che faccio. Tra l'altro mi perdo nei calcoli passando da una forma indeterminata all'altra e spesso facendo il giro tondo, moltiplico divido raccolgo semplifico girando intorno alla soluzione senza trovarla.
Capisco che in effetti quest'argomento richiede tanti esercizi ed essere un po' creativi, ma il modo in cui procedo io mi sembra completamente assurdo (tra l'altro mi richiederebbe un tempo enorme). Ho l'impressione invece che chi sia capace di svolgere questi esercizi non proceda a casaccio, ma faccia ragionamenti del tipo "qui mi conviene/provo ad eliminare questo termine" "qui mi conviene passare a quest'altra forma indeterminata usando questo stratagemma", cioè immagino che chi è capace, guardando la forma indeterminata che ha davanti, si renda conto di dove vuole arrivare (o almeno riesce ad immaginare in che modo può avere una forma più semplice di quella che ha davanti) e usa i vari trucchi per arrivarci. Insomma, penso che sia possibile un minimo di pianificazione oppure no? Si impara procedendo a casaccio affrontando quanti più "modelli" differenti possibile in modo da imparare tante situazioni diverse?
Concludo il messaggio proponendovi un esercizio su cui mi ero bloccato.
$lim_(x->0)$ $(1/2(1-cos3x) - 1/sin^2 3x)$
All'inizio ho provato ad addizionare i due termini e a semplificare ma mi sono ritrovato in un loop infinito XD. Poi per caso trovato la soluzione ma credo ci sia un modo più facile di procedere che non conosco. Ecco come ho fatto io:
moltiplico e divido per $(1+cos3x)$
$lim_(x->0)$ $ (1+cos3x)/(2(1-cos^2 3x)) - 1/(sin^2 3x) = lim_(x->0) ((sin^2 3x)(1+cos3x)-2(1-cos^2 3x))/((sin^2 3x)(1-cos^2 3x)2) = lim_(x->0) (1+cos3x-2)/((1-cos^2 3x)2) $
a questo punto non sapendo semplificare raccolgo
$lim_(x->0)$ $ ((1+cos3x)(1-2/(1+cos^2 3x)))/((1+cos3x)(1-cos3x)2) = lim_(x->0) 1/((1-cos^2 3x)2) - 2/(2(1-cos3x)(1+cos3x)) = lim_(x->0) (2(1-cos3x)(1+cos3x) - 2(1-cos3x))/(4(1-cos3x)(1-cos3x)(1+cos3x))$
a questo punto raccolgo (sopra) $(1-cos3x)$ semplifico e mi trovo
$lim_(x->0)$ $(cos3x)/(2(1-cos^2 3x)) = lim_(x->0) 1/2 * (cos3x)/((cos3x)(cos3x+1/(cos3x))) = lim_(x->0) 1/(2cos3x + 2/(cos3x)) = 1/4 $
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Spero di essermi fatto capire, ringrazio chiunque mi volesse aiutare.
Saluti
Risposte
Mi sono accorto di aver fatto un errore negli ultimi passaggi, quindi in realtà l'esercizio non è nemmeno risolto bene. Quindi se oltre a rispondere al messaggio (la parte prima dell'esercizio postato) mi aiutaste a risolvere l'esercizio mi togliereste una curiosità.
Non riesco a capire questa preclusione nei confronti di limiti notevoli e teoremi per la risoluzione degli esercizi proposti...
Capisco tu voglia trovare una strada quanto possibile indipendente da essi per poter risolvere un generico esercizio che possa esserti proposto; il fatto è che difficilmente l'esercizio sarà davvero generico (e questo non vale solo per i limiti), anzi, ti troverai molto facilmente di fronte a esercizi (a lezione, sui testi, all'esame) che sono costruiti apposta per essere risolti con quegli strumenti (limiti notevoli, teoremi, equivalenza asintotica, infiniti/infinitesimi). O almeno per esserlo in un modo più furbo e veloce, sebbene inevitabilmente meno immediato. In alcuni casi ne potrai comunque fare a meno (al costo però di qualche conto in più).
Ne è prova la tua proposta di soluzione, che si perde via in troppi conti e certamente non ti aiuta a risparmiare tempo...
Venendo alla risoluzione, una strada può essere la seguente (certamente non l'unica):
Osservando che $1-cos^2(3x)=sin^2(3x)$ risparmi una riga di conto e giungi subito a scrivere $frac{cos(3x)-1}{2sin^2(3x)}$.
Qui puoi usare Hôpital o usare i limiti notevoli (che in quella forma si riconosco facilmente) di seno e coseno; dividendo per $(3x)^2$ otteniamo: $lim_{x\to0}frac{frac{cos(3x)-1}{(3x)^2}}{frac{2sin^2(3x)}{(3x)^2}}=frac{-1/2}{2}=-1/4$.
Se hai altri dubbi non esitare a chiedere...
Capisco tu voglia trovare una strada quanto possibile indipendente da essi per poter risolvere un generico esercizio che possa esserti proposto; il fatto è che difficilmente l'esercizio sarà davvero generico (e questo non vale solo per i limiti), anzi, ti troverai molto facilmente di fronte a esercizi (a lezione, sui testi, all'esame) che sono costruiti apposta per essere risolti con quegli strumenti (limiti notevoli, teoremi, equivalenza asintotica, infiniti/infinitesimi). O almeno per esserlo in un modo più furbo e veloce, sebbene inevitabilmente meno immediato. In alcuni casi ne potrai comunque fare a meno (al costo però di qualche conto in più).
Ne è prova la tua proposta di soluzione, che si perde via in troppi conti e certamente non ti aiuta a risparmiare tempo...
Venendo alla risoluzione, una strada può essere la seguente (certamente non l'unica):
Osservando che $1-cos^2(3x)=sin^2(3x)$ risparmi una riga di conto e giungi subito a scrivere $frac{cos(3x)-1}{2sin^2(3x)}$.
Qui puoi usare Hôpital o usare i limiti notevoli (che in quella forma si riconosco facilmente) di seno e coseno; dividendo per $(3x)^2$ otteniamo: $lim_{x\to0}frac{frac{cos(3x)-1}{(3x)^2}}{frac{2sin^2(3x)}{(3x)^2}}=frac{-1/2}{2}=-1/4$.
Se hai altri dubbi non esitare a chiedere...
La ringrazio dell'aiuto 
In effetti ieri sera avevo trovato una soluzione, tra l'altro anche piuttosto banale (stupidamente non mi rendevo conto che in un passaggio potevo usare la relazione fondamentale), mi ero fatto prendere dallo sconforto e dalla poca familiarità con questi argomenti, irrazionalmente tra l'altro, visto che in realtà sono affrontabilissimi.
Capisco perfettamente il suo dubbio, e in effetti il mio atteggiamento può sembrare stupido (o forse lo è). In realtà non ho ancora affrontato il teorema di de l'Hopital, e siccome sul mio eserciziario sono presenti, in ordine, esercizi che non richiedono l'uso di limiti notevoli e teoremi, poi l'uso di limiti notevoli e via via sempre più generici, volevo farne una buona quantità per ogni parte prima di passare alla successiva, un po' per volermi preparare bene e un po' perché mi sento facilmente infastidito se c'è qualcosa che penso di dover essere in grado di fare con le nozioni che ho ma che in quel momento non riesco ad affrontare.
La ringrazio di nuovo per l'aiuto, gentilissimo
In effetti ieri sera avevo trovato una soluzione, tra l'altro anche piuttosto banale (stupidamente non mi rendevo conto che in un passaggio potevo usare la relazione fondamentale), mi ero fatto prendere dallo sconforto e dalla poca familiarità con questi argomenti, irrazionalmente tra l'altro, visto che in realtà sono affrontabilissimi.
Capisco perfettamente il suo dubbio, e in effetti il mio atteggiamento può sembrare stupido (o forse lo è
). In realtà non ho ancora affrontato il teorema di de l'Hopital, e siccome sul mio eserciziario sono presenti, in ordine, esercizi che non richiedono l'uso di limiti notevoli e teoremi, poi l'uso di limiti notevoli e via via sempre più generici, volevo farne una buona quantità per ogni parte prima di passare alla successiva, un po' per volermi preparare bene e un po' perché mi sento facilmente infastidito se c'è qualcosa che penso di dover essere in grado di fare con le nozioni che ho ma che in quel momento non riesco ad affrontare.La ringrazio di nuovo per l'aiuto, gentilissimo
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