Limiti - Equivalenze locali
Salve. Apro un nuovo topic per chiarire la liceità di alcuni passaggi.
Faccio riferimento al topic: http://www.matematicamente.it/forum/chiedo-lumi-per-alcuni-limiti-rognosi-help-t50776.html
E, in particolare, al limite $\lim_{x \to \+infty}(sqrt(x^2+x+1)) log(1+cos(1/sqrt(x))) - xlog2$
Anche io ho pensato che fosse sbagliato considerare $log(1+cos(1/sqrt(x)))$, per $x\to +oo$, $log2$.
Ma, scrivendo fuori dal segno di limite, $log(1+cos(1/sqrt(x))) = log(2) + o(1)$.
Quindi avrei che:
$\lim_{x \to \+infty}(sqrt(x^2+x+1)) [ log(2) + o(1) ] - xlog2$
Inoltre, poiché è $sqrt(x^2+x+1)/x -> 1$, per $x -> oo$, si ha che $sqrt(x^2+x+1) = x + o(x)$. Sostituendo:
$\lim_{x \to \+infty}(x + o(x)) [ log(2) + o(1) ] - xlog2$
$\lim_{x \to \+infty} xlog(2) + o(x) - xlog(2) = \lim_{x \to \+infty} o(x)$
A questo punto direi che non si può concludere.
Ad ogni modo è tutto giusto, vero? I passaggi sono leciti?
Grazie in anticipo.
Faccio riferimento al topic: http://www.matematicamente.it/forum/chiedo-lumi-per-alcuni-limiti-rognosi-help-t50776.html
E, in particolare, al limite $\lim_{x \to \+infty}(sqrt(x^2+x+1)) log(1+cos(1/sqrt(x))) - xlog2$
"gugo82":
Infatti, pur sembrerebbe molto molto comodo, non si può sostituire $log 2$ al posto di $log(1+cos(1/sqrt(x)))$!
Anche io ho pensato che fosse sbagliato considerare $log(1+cos(1/sqrt(x)))$, per $x\to +oo$, $log2$.
Ma, scrivendo fuori dal segno di limite, $log(1+cos(1/sqrt(x))) = log(2) + o(1)$.
Quindi avrei che:
$\lim_{x \to \+infty}(sqrt(x^2+x+1)) [ log(2) + o(1) ] - xlog2$
Inoltre, poiché è $sqrt(x^2+x+1)/x -> 1$, per $x -> oo$, si ha che $sqrt(x^2+x+1) = x + o(x)$. Sostituendo:
$\lim_{x \to \+infty}(x + o(x)) [ log(2) + o(1) ] - xlog2$
$\lim_{x \to \+infty} xlog(2) + o(x) - xlog(2) = \lim_{x \to \+infty} o(x)$
A questo punto direi che non si può concludere.
Ad ogni modo è tutto giusto, vero? I passaggi sono leciti?
Grazie in anticipo.
Risposte
Nessuno ha idee?
Ho solo un piccolo appunto, relativo al fatto che tipicamente la notazione di "o piccolo" si usa per gli infinitesimi.
Quindi, al posto di $o(x)$ avrei scritto $x\cdot o(1)$, dove $o(1)$ indica un infinitesimo per $x\to +\infty$.
Comunque sia, come hai osservato arrivi a $\lim_{x\to +\infty} x\cdot o(1)$, e dunque non puoi concludere niente.
Quindi, al posto di $o(x)$ avrei scritto $x\cdot o(1)$, dove $o(1)$ indica un infinitesimo per $x\to +\infty$.
Comunque sia, come hai osservato arrivi a $\lim_{x\to +\infty} x\cdot o(1)$, e dunque non puoi concludere niente.
"Rigel":
Ho solo un piccolo appunto, relativo al fatto che tipicamente la notazione di "o piccolo" si usa per gli infinitesimi.
Quindi, al posto di $o(x)$ avrei scritto $x\cdot o(1)$, dove $o(1)$ indica un infinitesimo per $x\to +\infty$.
Comunque sia, come hai osservato arrivi a $\lim_{x\to +\infty} x\cdot o(1)$, e dunque non puoi concludere niente.
Quindi il passaggio $o(x) => x * o(1)$ è solo per rendersi conto che si ha una forma di "indecisione"?
Inoltre volevo avere qualche conferma su questo post qui: http://www.matematicamente.it/forum/problema-con-un-limite-t51323.html#370984 concernente il medesimo argomento.
Mi sembra che anche nell'altro post avvenga la stessa cosa.
Il passaggio da $o(x)$ a $x\cdot o(1)$ è solo notazionale; in entrambi i casi si intende una funzione $f(x)$ tale che
$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, basta capirsi.
Il mio appunto era relativo al fatto che in genere con $o(.)$ si indica un infinitesimo, ma con la notazione da te usata uno potrebbe avere $o(x) = \sqrt{x}$ che non è un infinitesimo per $x\to +\infty$ (ma se uno sa quello che fa va bene).
Il passaggio da $o(x)$ a $x\cdot o(1)$ è solo notazionale; in entrambi i casi si intende una funzione $f(x)$ tale che
$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, basta capirsi.
Il mio appunto era relativo al fatto che in genere con $o(.)$ si indica un infinitesimo, ma con la notazione da te usata uno potrebbe avere $o(x) = \sqrt{x}$ che non è un infinitesimo per $x\to +\infty$ (ma se uno sa quello che fa va bene).
D'accordo. Grazie per le risposte.
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