Limiti e somma di serie

[Clematis1]

Ho bisogno di un chiarimento riguardo le "Serie" visto che sul libro non c'è scritto come fare (o sono io che non lo capisco). Il primo esercizio chiede di calcolare, ad esempio, il limite con lim n-->inf di (1+2+3+...+n)/ (n)^(2). Il secondo esercizio chiede invece di calcolare la somma della serie sommatoria con n che va da 1 a infinito di a^n (0

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Risposte

vict85

24 gen 2011, 11:37

In questi due esercizi può essere conveniente usare le formule dell'n-esimo numero triangolare (http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_triangolare) e della serie geometrica (http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica).

P.S: usa le formule latex per scrivere.

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pater46

24 gen 2011, 11:39

Riscriviamo bene:

$lim_n \frac{1+2+3+4+5+"..."+n}{n^2} = lim_n 1/(n^2)+2/(n^2)+3/(n^2)+4/(n^2)+"..."+n/(n^2)$

Cosa mi sai dire di questi termini? Quanto vale, ad esempio $lim_n k/(n^2)$ per $0
La seconda sommatoria è quella conosciuta sotto il nome di serie geometrica. prova ad esplicitare la sommatoria, ogni suo termine.

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Clematis1

24 gen 2011, 16:06

"vict85":In questi due esercizi può essere conveniente usare le formule dell'n-esimo numero triangolare (http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_triangolare) e della serie geometrica (http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica).

P.S: usa le formule latex per scrivere.

Grazie mille!!! Sono finalmente riuscita a risolverlo...devo dire che però da sola non ci sarei mai arrivata!

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gugo82

25 gen 2011, 21:26

@pater46:

"pater46":Riscriviamo bene:

$lim_n \frac{1+2+3+4+5+"..."+n}{n^2} = lim_n 1/(n^2)+2/(n^2)+3/(n^2)+4/(n^2)+"..."+n/(n^2)$

Cosa mi sai dire di questi termini? Quanto vale, ad esempio $lim_n k/(n^2)$ per $0
L'idea è quella di applicare il limite della somma, se capisco bene il suggerimento; insomma, "se ogni addendo va a zero, allora la somma va pure a zero".

Il metodo che vuoi usare è sbagliato e porta ad un risultato sbagliato.

Infatti, il numero degli addendi in [tex]\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k[/tex] cresce al crescere di [tex]$n$[/tex], quindi il teorema sulla somma dei limiti non è applicabile.
E che tale procedimento porti ad un risultato sbagliato si dimostra velocemente ricordando una famosa scoperta fatta da Gauss (alle elementari), ossia l'uguaglianza:

[tex]$\sum_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2}$[/tex];

ricordata tale relazione diventa evidente che:

[tex]$\frac{1}{n^2}\ \sum_{k=1}^n k = \frac{n^2+n}{2n^2}$[/tex],

sicché:

[tex]$\lim_n \frac{1}{n^2}\ \sum_{k=1}^n k =\frac{1}{2}$[/tex].

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pater46

25 gen 2011, 22:02

hai ragione. Non è la prima volta che toppo nelle considerazioni su termini infiniti, necessita rispolverata! Grazie per l'appunto.

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salvozungri

25 gen 2011, 23:43

Aggiungo una cosa In questo caso è possibile utilizzare il mistrattato teorema di Cesàro.
Le successioni a cui applicare il teorema sono [tex]\displaystyle\left\{a_n\right\}_{n}= \left\{\sum_{k=1}^nk\right\}_n,\,\ \left\{b_n\right\}_{n}=\left\{n^2\right\}_n[/tex]
Ora
[tex]$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}} =\frac{n+1}{2n+1}\to \frac{1}{2} \text{ per } n\to \infty[/tex].

Mi chiedo come mai questo semplice teorema venga un po' snobbato nelle unversità , è tanto carino

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[vict85]

In questi due esercizi può essere conveniente usare le formule dell'n-esimo numero triangolare (http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_triangolare) e della serie geometrica (http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica).

P.S: usa le formule latex per scrivere.

[pater46]

Riscriviamo bene:

$lim_n \frac{1+2+3+4+5+"..."+n}{n^2} = lim_n 1/(n^2)+2/(n^2)+3/(n^2)+4/(n^2)+"..."+n/(n^2)$

Cosa mi sai dire di questi termini? Quanto vale, ad esempio $lim_n k/(n^2)$ per $0
La seconda sommatoria è quella conosciuta sotto il nome di serie geometrica. prova ad esplicitare la sommatoria, ogni suo termine.

[Clematis1]

"vict85":In questi due esercizi può essere conveniente usare le formule dell'n-esimo numero triangolare (http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_triangolare) e della serie geometrica (http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica).

P.S: usa le formule latex per scrivere.

Grazie mille!!! Sono finalmente riuscita a risolverlo...devo dire che però da sola non ci sarei mai arrivata!

[gugo82]

@pater46:

"pater46":Riscriviamo bene:

$lim_n \frac{1+2+3+4+5+"..."+n}{n^2} = lim_n 1/(n^2)+2/(n^2)+3/(n^2)+4/(n^2)+"..."+n/(n^2)$

Cosa mi sai dire di questi termini? Quanto vale, ad esempio $lim_n k/(n^2)$ per $0
L'idea è quella di applicare il limite della somma, se capisco bene il suggerimento; insomma, "se ogni addendo va a zero, allora la somma va pure a zero".

Il metodo che vuoi usare è sbagliato e porta ad un risultato sbagliato.

Infatti, il numero degli addendi in [tex]\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k[/tex] cresce al crescere di [tex]$n$[/tex], quindi il teorema sulla somma dei limiti non è applicabile.
E che tale procedimento porti ad un risultato sbagliato si dimostra velocemente ricordando una famosa scoperta fatta da Gauss (alle elementari), ossia l'uguaglianza:

[tex]$\sum_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2}$[/tex];

ricordata tale relazione diventa evidente che:

[tex]$\frac{1}{n^2}\ \sum_{k=1}^n k = \frac{n^2+n}{2n^2}$[/tex],

sicché:

[tex]$\lim_n \frac{1}{n^2}\ \sum_{k=1}^n k =\frac{1}{2}$[/tex].

[pater46]

hai ragione. Non è la prima volta che toppo nelle considerazioni su termini infiniti, necessita rispolverata! Grazie per l'appunto.

[salvozungri]

Aggiungo una cosa In questo caso è possibile utilizzare il mistrattato teorema di Cesàro.
Le successioni a cui applicare il teorema sono [tex]\displaystyle\left\{a_n\right\}_{n}= \left\{\sum_{k=1}^nk\right\}_n,\,\ \left\{b_n\right\}_{n}=\left\{n^2\right\}_n[/tex]
Ora
[tex]$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}} =\frac{n+1}{2n+1}\to \frac{1}{2} \text{ per } n\to \infty[/tex].

Mi chiedo come mai questo semplice teorema venga un po' snobbato nelle unversità , è tanto carino