Limiti e problemi con il fattoriale.
Salve a tutti, apro questo thread per proporvi qualche limite con il quale riscontro o riscontrerò qualche problema e per chiedervi come lo risolvereste voi.
In particolar modo noto grosse difficoltà davanti a limti con il fattoriale. C'è qualche metodo particolare per risolverli senza perderci la vita?
Questo limite mi risulta uguale a -1 e invece al mio prof -1/2. Io ho semplicemente tirato fuori la n dalla radice mentre il prof ha razionalizzato. Qual è il metodo giusto?
lim n->infinito $((n^2+n+1)^1/2-(n+1))$
In particolar modo noto grosse difficoltà davanti a limti con il fattoriale. C'è qualche metodo particolare per risolverli senza perderci la vita?
Questo limite mi risulta uguale a -1 e invece al mio prof -1/2. Io ho semplicemente tirato fuori la n dalla radice mentre il prof ha razionalizzato. Qual è il metodo giusto?
lim n->infinito $((n^2+n+1)^1/2-(n+1))$
Risposte
"acvtre":
Salve a tutti, apro questo thread per proporvi qualche limite con il quale riscontro o riscontrerò qualche problema e per chiedervi come lo risolvereste voi.
In particolar modo noto grosse difficoltà davanti a limti con il fattoriale. C'è qualche metodo particolare per risolverli senza perderci la vita?
Questo limite mi risulta uguale a -1 e invece al mio prof -1/2. Io ho semplicemente tirato fuori la n dalla radice mentre il prof ha razionalizzato. Qual è il metodo giusto?
lim n->infinito $((n^2+n+1)^1/2-(n+1))$
E' giusto razionalizzare altrimenti non puoi concludere nulla.
Se vuoi scrivi qui ciò che hai fatto e ti mostreremo dove hai sbagliato
"acvtre":
lim n->infinito $((n^2+n+1)^1/2-(n+1))$
Salve a te, correggimi se sbaglio, ma, da come ho visto il codice che hai usato per scrivere la formula il limite è questo:
$lim_{n\to\infty}((n^2+n+1)^{1/2}-(n+1))$
O, che dir si voglia (qualora fosse giusta la mia interpretazione)
$lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+1}-(n+1))$
Comunque in generale conviene sempre razionalizzare quando si ha a che fare con addizioni o sottrazioni; mi ricordo che il professore diceva di portar fuori solo quando si hanno delle divisioni...
Per il resto, in pratica, quoto ciò che ha detto misanino (ho visto che ti ha risposto lui mentre controllavo il mio post con l'anteprima!)
Adesso ho visto che è scritto sbagliato, il trinomio di secondo grado dovrebbe essere sotto radice. Quello che ho fatto io è stato raccogliere l'n^2 sotto radice e tirarlo fuori.
Credo che tu volessi scrivere $ lim_(n -> +oo) sqrt(n^2+n+1)-(n+1) $, anche portando la $n$ fuori, come dici tu, ottieni $nsqrt(1+1/n+1/n^2)-(n+1)$ e non otterresti nulla, siamo ancora nella forma $[oo-oo]$...per cui l'unica soluzione è moltiplicare e dividere tutto per $sqrt(n^2+n+1)+n+1$ per togliere la radice sfruttando il prodotto notevole ($(a+b)(a-b)=a^2-b^2$), dunque ottieni:
$(sqrt(n^2+n+1)-(n+1))(sqrt(n^2+n+1)+(n+1))/((sqrt(n^2+n+1)+(n+1)))=-n/(sqrt(n^2+n+1)+n+1)=-n/(nsqrt(1+1/n+1/n^2)+n+1) -> -1/2$
Per i limiti con il fattoriale in genere devi utilizzare:
1. Il confronto tra infiniti e infinitesimi
2. Possibili semplificazioni con altri fattoriali
3. Il criterio del rapporto
$(sqrt(n^2+n+1)-(n+1))(sqrt(n^2+n+1)+(n+1))/((sqrt(n^2+n+1)+(n+1)))=-n/(sqrt(n^2+n+1)+n+1)=-n/(nsqrt(1+1/n+1/n^2)+n+1) -> -1/2$
Per i limiti con il fattoriale in genere devi utilizzare:
1. Il confronto tra infiniti e infinitesimi
2. Possibili semplificazioni con altri fattoriali
3. Il criterio del rapporto
"calolillo":
Credo che tu volessi scrivere $ lim_(n -> +oo) sqrt(n^2+n+1)-(n+1) $, anche portando la $n$ fuori, come dici tu, ottieni $nsqrt(1+1/n+1/n^2)-(n+1)$ e non otterresti nulla, siamo ancora nella forma $[oo-oo]$...per cui l'unica soluzione è moltiplicare e dividere tutto per $sqrt(n^2+n+1)+n+1$ per togliere la radice sfruttando il prodotto notevole ($(a+b)(a-b)=a^2-b^2$), dunque ottieni:
$(sqrt(n^2+n+1)-(n+1))(sqrt(n^2+n+1)+(n+1))/((sqrt(n^2+n+1)+(n+1)))=-n/(sqrt(n^2+n+1)+n+1)=-n/(nsqrt(1+1/n+1/n^2)+n+1) -> -1/2$
Per i limiti con il fattoriale in genere devi utilizzare:
1. Il confronto tra infiniti e infinitesimi
2. Possibili semplificazioni con altri fattoriali
3. Il criterio del rapporto
Per me, risulta valido il mio metodo perhcè le due frazioni sotto radice tendono a 0 e quindi si avrebbe $n-n-1$. O sbaglio?
Questo ragionamento va bene per i prodotti ma non per somme e differenze: in generale se hai due successioni $a_n$ e $b_n$ con $a_n\simb_n$ e presa una terza successione $c_n$ risulta vero che $a_nc_n\simb_nc_n$ ma NON che $a_n+c_n\simb_n+c_n$.
In questo caso NON puoi scrivere $nsqrt(1+1/n+1/n^2) - n - 1 \sim n - n -1$ proprio per la formula precedente ponendo $a_n=nsqrt(1+1/n+1/n^2)$, $b_n=n$ e $c_n=-n-1$
In questo caso NON puoi scrivere $nsqrt(1+1/n+1/n^2) - n - 1 \sim n - n -1$ proprio per la formula precedente ponendo $a_n=nsqrt(1+1/n+1/n^2)$, $b_n=n$ e $c_n=-n-1$
"calolillo":
Questo ragionamento va bene per i prodotti ma non per somme e differenze: in generale se hai due successioni $a_n$ e $b_n$ con $a_n\simb_n$ e presa una terza successione $c_n$ risulta vero che $a_nc_n\simb_nc_n$ ma NON che $a_n+c_n\simb_n+c_n$.
In questo caso NON puoi scrivere $nsqrt(1+1/n+1/n^2) - n - 1 \sim n - n -1$ proprio per la formula precedente ponendo $a_n=n$, $b_n=sqrt(1+1/n+1/n^2)$ e $c_n=-n-1$
Ottimo, questa mi aiuta molto. Adesso speriamo bene con i fattoriali, se avrò problemi con altri limiti li posterò.
come mai questo limite https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... (n%5E2%2b1))%10sin(1%10n))$_200805073241/ è stato risolto come avrei risolto io quello sopra?
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