Limiti e ordini di infinitesimo
Ciao ragazzi, ho un problema con i limiti che mi porta a sbagliare gli esercizi. Non riesco a capire a priori, dato un limite, gli infinitesimi di ordine superiore e quindi non svilupparli con taylor. Ad esempio:
$ lim_(x -> 0^+) (3^(-1/(2x))+e^(x-1/4x^2)-1-x)/(x^a-log(1-x^2)-2tan^2x) $
In questo esercizio mi chiedono di calcolare il limite al variare del parametro a.
Ora come faccio a capire cosa sviluppare con taylor e cosa tralasciare?
Vi prego aiutatemi che non ne vengo fuori
Grazie
$ lim_(x -> 0^+) (3^(-1/(2x))+e^(x-1/4x^2)-1-x)/(x^a-log(1-x^2)-2tan^2x) $
In questo esercizio mi chiedono di calcolare il limite al variare del parametro a.
Ora come faccio a capire cosa sviluppare con taylor e cosa tralasciare?
Vi prego aiutatemi che non ne vengo fuori
Grazie
Risposte
Sviluppa con Taylor tutto quello che è possibile. Inizi al primo ordine e vedi che cosa ti risulta, se ottieni delle forme indeterminate vuol dire che devi sviluppare al second'ordine e così via. Per il parametro vedi i vari risultati che ottieni al primo ordine. Ad esempio per $a>0$ che valore ottengo del limite? c'è qualche valore di $a$ che mi annulla il denominatore?
Se non sbaglio $ 3^(-1/(2x)) $ lo tralascio giusto?
Io ho sviluppato tutto e ottengo alla fine:
$ lim_(x -> 0^+) (1/4x^2-1/4x^3+1/32x^4+o(x^4))/(x^a-x^2-5/6x^4+o(x^4)) $
Quindi come parametro valuto il 2. Quindi con a = 2, a > 2 e a < 2. Potrebbe essere giusto?
Ammesso e concesso che fin qui sia tutto giusto, come faccio a calcolare il risultato con a > 2 per esempio?
Io ho sviluppato tutto e ottengo alla fine:
$ lim_(x -> 0^+) (1/4x^2-1/4x^3+1/32x^4+o(x^4))/(x^a-x^2-5/6x^4+o(x^4)) $
Quindi come parametro valuto il 2. Quindi con a = 2, a > 2 e a < 2. Potrebbe essere giusto?
Ammesso e concesso che fin qui sia tutto giusto, come faccio a calcolare il risultato con a > 2 per esempio?
Se raccogli un $x^2$ sia al numeratore che al denominatore diventa un po più chiaro.
\begin{equation}
\lim_{x \to 0^+}\frac{x^2(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{32}x^2)}{x^2(x^{a-2}-1-\frac{5}{6}x^2)}+o(x^4)
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{32}x^2}{x^{a-2}-1-\frac{5}{6}x^2}+o(x^4)
\end{equation}
Se $a=2$ qual'è il risultato?
Se $a>2$ qual'è il risultato?
Se $a<2$ qual'è il risultato?
\begin{equation}
\lim_{x \to 0^+}\frac{x^2(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{32}x^2)}{x^2(x^{a-2}-1-\frac{5}{6}x^2)}+o(x^4)
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{32}x^2}{x^{a-2}-1-\frac{5}{6}x^2}+o(x^4)
\end{equation}
Se $a=2$ qual'è il risultato?
Se $a>2$ qual'è il risultato?
Se $a<2$ qual'è il risultato?
ok ok ci sono. Allora:
a=2 risulta -infinito
a<2 risulta 0
a>2 risulta -1/4
Posso chiederti un'altra cosa?
$ 2^(x^2-x)-2^x+2(log2)x+x^3sen(1/x) $
il $ sen(1/x) $ non lo tengo conto perchè e limitato e quindi al posto di esso scrivo $ 1 $, ma lo sviluppo di quel logaritmo? devo sviluppare $ log2 $ o $ log2x $ ?
a=2 risulta -infinito
a<2 risulta 0
a>2 risulta -1/4
Posso chiederti un'altra cosa?
$ 2^(x^2-x)-2^x+2(log2)x+x^3sen(1/x) $
il $ sen(1/x) $ non lo tengo conto perchè e limitato e quindi al posto di esso scrivo $ 1 $, ma lo sviluppo di quel logaritmo? devo sviluppare $ log2 $ o $ log2x $ ?
$x$ tende a zero? se si, il $sen(1/x)$ tende a $\pi/2$ mentre il logaritmo devi sviluppare il $log(2x)$. Altrimenti se è $x2log2$ il logaritmo non lo devi sviluppare in quanto è un numero e non dipende da $x$
Ti do anche questo suggerimento GOPRO HERO4 che secondo me può tornarti utile. Quando ha i limiti parametrici una volta trovata la soluzione prova a sostituire un numero vero e vedi se i conti tornano. Ad esempio se $a=-3/2$ ottengo $0$?
Grazie per il suggerimento dei limiti parametri, non avevo mai pensato ad un eventuale verifica.
Per quanto riguarda questo, $ 2^(x^2-x)-2^x+2(log2)x+x^3sen(1/x) $ , x tende a zero +, mi ero dimenticato di scriverlo sul messaggio sopra. Per quanto riguarda il logaritmo, quello che ho riportato è il testo dell'esercizio.. Penso sia inteso come 2 che moltiplica il logaritmo di 2x.
Il seno mi hai detto che tende a $ pi/2 $, ma $ 1/0 $ non fa + infinito (in questo caso)? Lo considero lo stesso?
Per quanto riguarda questo, $ 2^(x^2-x)-2^x+2(log2)x+x^3sen(1/x) $ , x tende a zero +, mi ero dimenticato di scriverlo sul messaggio sopra. Per quanto riguarda il logaritmo, quello che ho riportato è il testo dell'esercizio.. Penso sia inteso come 2 che moltiplica il logaritmo di 2x.
Il seno mi hai detto che tende a $ pi/2 $, ma $ 1/0 $ non fa + infinito (in questo caso)? Lo considero lo stesso?
Scusa ho detto una cosa errata 
, il seno di $+\infty$ è uguale a 1. E per quanto riguarda il logaritmo dovrebbe essere $log2x$ altrimenti non puoi svilupparlo.
, il seno di $+\infty$ è uguale a 1. E per quanto riguarda il logaritmo dovrebbe essere $log2x$ altrimenti non puoi svilupparlo.
Ma scusa la domanda se è banale, ma per sviluppare il $ log 2x $ come faccio? Basta sostituire al posto di $ (1+x) $, $ 2x $?
Non si può sviluppare in serie di taylor $log (2x) $, in quanto per $x=0$ la funzione non risulta definita!
Inoltre $lim_(x->0^+) 2^(x^2-x)-2^x+2log(2x)+x^3sin (1/x)$ $=lim_(x->0^+) 2log (2x)=2log0=-infty $, in quanto gli altri termini sono infinitesimi e tendento a $0$ sono pertanto trascurabili;
Il termine $x^3sin (1/x) $, e' altresi un infinitesimo in quanto per $x->0^+$ il termine $1/x $ va ad infinito ed il seno oscilla tra $1$ ed $-1$ , quindi e' una quantità limitata, che moltiplicata per $x^3$, ovviamente tende a $0$.
Inoltre $lim_(x->0^+) 2^(x^2-x)-2^x+2log(2x)+x^3sin (1/x)$ $=lim_(x->0^+) 2log (2x)=2log0=-infty $, in quanto gli altri termini sono infinitesimi e tendento a $0$ sono pertanto trascurabili;
Il termine $x^3sin (1/x) $, e' altresi un infinitesimo in quanto per $x->0^+$ il termine $1/x $ va ad infinito ed il seno oscilla tra $1$ ed $-1$ , quindi e' una quantità limitata, che moltiplicata per $x^3$, ovviamente tende a $0$.
Quindi durante lo svolgimento di un limite per x che tende a zero posso tralasciare i termini che sono infinitesimi (ad esempio se avessi avuto un $ + e^(-1/x) $, infatti se vado a sostituire zero al posto della x, il risultato è zero ) e i termini (come in questo caso $ 2(x^2-x)-2^x $ ) che sommati o sottratti danno come risultato zero (quindi sono infinitesimi). Giusto?
Comunque l'esercizio mi chiedeva di trovare l'ordine di infinitesimo per x che tende a zero + e nnon di calcolarne il limite.
Comunque l'esercizio mi chiedeva di trovare l'ordine di infinitesimo per x che tende a zero + e nnon di calcolarne il limite.
Il limite che hai scritto sopra non e' un infinitesimo in quanto tende ad $-infty $;
Non e' che si intende $lim_(x->0)2^(x^2-x)-2^x+2xlog2+x^3sin (1/x)$
Non e' che si intende $lim_(x->0)2^(x^2-x)-2^x+2xlog2+x^3sin (1/x)$
Questo è il testo dell'esercizio:
Ciao GOPRO per i termini $2^{x^2-x}$ e $2^x$ devi utilizzare la formula di Taylor:
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{equation}
il termine $x^3sin(1/x)$ è limitato e si annulla mentre tutti gli altri sono sviluppi notevoli di Taylor. Il termine $2(log2)x$ equivale a scriverlo così $2xlog2$ e molto probabilmente si semplifica con i termini esponenziali.
per i termini $2^{x^2-x}$ e $2^x$ devi utilizzare la formula di Taylor:\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{equation}
il termine $x^3sin(1/x)$ è limitato e si annulla mentre tutti gli altri sono sviluppi notevoli di Taylor. Il termine $2(log2)x$ equivale a scriverlo così $2xlog2$ e molto probabilmente si semplifica con i termini esponenziali.
$lim_(x->0)e^((x-x^2)log2)-e^(xlog2)+2xlog2+x^3sin (1/x) $ $=lim_(x->0)1+x^2log2-xlog2-1-xlog2+2xlog2+x^3sin (1/x) $ $=lim_(x->0)x^2log2+x^3sin(1/x) $, quindi avendo una somma ed essendo $x^2log2$ il termine infinitesimo che va a zero meno velocemente direi che in definitiva il nostro limite e' un infinitesimo di ordine $2$, mi sbaglio?
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