Limiti e logaritmi

[xxenergyxx]

Ragazzi,vi prego di aiutarmi,per molti di voi quello che sto per chiedervi sarà di una banalità sconcertante ma ho dimenticato alcune cose e non riesco a venirne a capo:

per $a>0$ $lim_(h->0)(a^h-1)/h=lna$


qualcuno mi spiega che passaggi ci sono in mezzo?

[elli2]

si pone a^h-1 = y per ricondursi al limite notevole della funzione log(1+y)/y , o meglio al suo reciproco .

[xxenergyxx]

ma tu intendi dire che va posto $a^(h-1)=y$ ?
oppure come nel caso che ho scritto io $a^h-1=y$?

Avrei veramente bisogno di un'anima pia che mi scriva i passaggi,sarà che oggi sono un po' addormentato ma non ci arrivo!
Comunque grazie eli per la disponibilità!

[fabry1985mi]

Ponendo $y:=a^h-1 \Leftrightarrow h=log_a(1+y)$ inoltre se $h->0 \Rightarrow y->0$

Dunque:

$lim_(h->0)(a^h-1)/h=lim_(y->0)y/(log_a(1+y))= lim_(y->0)[1/ylog_a(1+y)]^(-1)=lim_(y->0)[log_a(1+y)^(1/y)]^(-1)=(log_a(e))^(-1)=1/(log_a(e))=log(a)$

Ti informo che uso la notazione $ln(x)=log(x)=lg(x)=log_e(x)$

[xxenergyxx]

chiedo ancora scusa per la mia ignoranza ma non capisco ancora un passaggio:


$lim_(y->0)[log_a(1+y)^(1/y)]^(-1)=(log_a(e))^(-1)$

per $(y->0)$ avrei che $[log_a(1+0)^(1/0)]^(-1)=[log_a(1)^(\infty)]^(-1)=[log_a(1)]^(-1)$

perchè $log_a(1)=log_a(e)$ ?

io so che $ln(e)=1$ ma non trovo il collegamento,cioè,mi verrebbe istintivamente da scrivere $log_a(ln(e))$ però non riesco ad andare avanti...

[fabry1985mi]

"xxenergyxx":chiedo ancora scusa per la mia ignoranza ma non capisco ancora un passaggio:


$lim_(y->0)[log_a(1+y)^(1/y)]^(-1)=(log_a(e))^(-1)$

per $(y->0)$ avrei che $[log_a(1+0)^(1/0)]^(-1)=[log_a(1)^(\infty)]^(-1)=[log_a(1)]^(-1)$

perchè $log_a(1)=log_a(e)$ ?

io so che $ln(e)=1$ ma non trovo il collegamento,cioè,mi verrebbe istintivamente da scrivere $log_a(ln(e))$ però non riesco ad andare avanti...

Attenzione: $1^(+oo)$ è forma di indecisione!

Il limite notevole ti dice che $lim_(y->0)(1+y)^(1/y)=e$ dunque:

$lim_(y->0)[log_a(1+y)^(1/y)]^(-1)=[log_alim_(y->0)(1+y)^(1/y)]^(-1)=[log_a(e)]^(-1)$