Limiti e Funzione Integrale
Ciao a tutti,
stavo cercando di risolvere questo esercizio e ho incontrato qualche difficoltà... Potreste aiutarmi?
Sono date la funzione \(\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x} |sint|dt \) e \(\displaystyle g(x) = x + arctgx + \frac{\pi}{2} \) verificare:
a) che siano entrambe derivabili in \(\displaystyle (0, +\infty) \):
\(\displaystyle g(x) \) è continua in \(\displaystyle [0; +\infty )\) perchè composizione di funzioni continue. Se la derivo trovo: \(\displaystyle g'(x) = \frac{2+x^2}{1+x^2}\) che non presenta discontinuità in \(\displaystyle (0, +\infty) \). Risulta pertanto derivabile in tale intervallo.
\(\displaystyle F(x) \) è definita su tutto \(\displaystyle \Re \) perchè \(\displaystyle |sint| \) è definito e continuo su \(\displaystyle \Re \). Se la derivo trovo \(\displaystyle F'(x) = |sint| \) che non ha discontinuità. Quindi anche \(\displaystyle F(x) \) risulta derivabile nell'intervallo considerato.
b) Mostrare che \(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{F'(x)}{g'(x)} \) non esiste: ho calcolato \(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{F'(x)}{g'(x)} = lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{1+x^2}{2+x^2} |sinx|\) che non esiste perchè è oscillante.
c) Dimostrare che esiste \(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{F(x)}{g(x)} \). A me però viene che non esiste perchè io ho calcolato: \(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{F(x)}{g(x)} = lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{|sinx|}{1+\frac{\pi}{2} }\). Anche questo è oscillante.. Sbaglio?
Secondo voi il mio approccio è corretto per i vari punti? Vi ringrazio per il vostro aiuto..
stavo cercando di risolvere questo esercizio e ho incontrato qualche difficoltà... Potreste aiutarmi?
Sono date la funzione \(\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x} |sint|dt \) e \(\displaystyle g(x) = x + arctgx + \frac{\pi}{2} \) verificare:
a) che siano entrambe derivabili in \(\displaystyle (0, +\infty) \):
\(\displaystyle g(x) \) è continua in \(\displaystyle [0; +\infty )\) perchè composizione di funzioni continue. Se la derivo trovo: \(\displaystyle g'(x) = \frac{2+x^2}{1+x^2}\) che non presenta discontinuità in \(\displaystyle (0, +\infty) \). Risulta pertanto derivabile in tale intervallo.
\(\displaystyle F(x) \) è definita su tutto \(\displaystyle \Re \) perchè \(\displaystyle |sint| \) è definito e continuo su \(\displaystyle \Re \). Se la derivo trovo \(\displaystyle F'(x) = |sint| \) che non ha discontinuità. Quindi anche \(\displaystyle F(x) \) risulta derivabile nell'intervallo considerato.
b) Mostrare che \(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{F'(x)}{g'(x)} \) non esiste: ho calcolato \(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{F'(x)}{g'(x)} = lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{1+x^2}{2+x^2} |sinx|\) che non esiste perchè è oscillante.
c) Dimostrare che esiste \(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{F(x)}{g(x)} \). A me però viene che non esiste perchè io ho calcolato: \(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{F(x)}{g(x)} = lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{|sinx|}{1+\frac{\pi}{2} }\). Anche questo è oscillante.. Sbaglio?
Secondo voi il mio approccio è corretto per i vari punti? Vi ringrazio per il vostro aiuto..
Risposte
Per quel che riguarda c) sbagli di sicuro... Non si capisce perchè al posto di \(F(x)\) al numeratore ci metti \(|\sin x|\).
Potresti procedere così, per il calcolo dell'ultimo limite.
Nota che, per fissato \(n\in \mathbb{N}\), hai:
\[
\forall x\in [n\pi, (n+1)\pi],\quad \int_0^{n\pi} |\sin t|\ \text{d} t = F(n\pi)\leq F(x) \leq F((n+1)\pi)=\int_0^{(n+1)\pi} |\sin t|\ \text{d} t
\]
e che gli integrali esterni sono esplicitamente calcolabili.
Dato che \(g(x)>0\) per \(x>0\) e che \(g\) è crescente, hai:
\[
\forall x\in [n\pi ,(n+1)\pi],\quad 0
Di conseguenza:
\[
\forall x\in [n\pi ,(n+1)\pi],\quad \frac{F(n\pi)}{g((n+1)\pi)}\leq \frac{F(x)}{g(x)}\leq \frac{F((n+1)\pi)}{g(n\pi)}
\]
ed il limite \(\lim_{x\to +\infty} F(x)/g(x)\) lo puoi calcolare di qui, sfruttando il teorema dei carabinieri.
Potresti procedere così, per il calcolo dell'ultimo limite.
Nota che, per fissato \(n\in \mathbb{N}\), hai:
\[
\forall x\in [n\pi, (n+1)\pi],\quad \int_0^{n\pi} |\sin t|\ \text{d} t = F(n\pi)\leq F(x) \leq F((n+1)\pi)=\int_0^{(n+1)\pi} |\sin t|\ \text{d} t
\]
e che gli integrali esterni sono esplicitamente calcolabili.
Dato che \(g(x)>0\) per \(x>0\) e che \(g\) è crescente, hai:
\[
\forall x\in [n\pi ,(n+1)\pi],\quad 0
Di conseguenza:
\[
\forall x\in [n\pi ,(n+1)\pi],\quad \frac{F(n\pi)}{g((n+1)\pi)}\leq \frac{F(x)}{g(x)}\leq \frac{F((n+1)\pi)}{g(n\pi)}
\]
ed il limite \(\lim_{x\to +\infty} F(x)/g(x)\) lo puoi calcolare di qui, sfruttando il teorema dei carabinieri.
Per il punto c) a numeratore ho messo \(\displaystyle |sint| \) perchè ho derivato la funzione integrale. Ho applicato il teorema di De l'Hopital.. Perchè dici che non va bene?
..\(\displaystyle |sin x|\), scusami...
"Elena4":
Per il punto c) a numeratore ho messo \(\displaystyle |sint| \) perchè ho derivato la funzione integrale. Ho applicato il teorema di De l'Hopital.. Perchè dici che non va bene?
Perchè il senso dell'esercizio è proprio: "constatare che per il rapporto \(F(x)/g(x)\) il teorema di de l'Hôpital è inapplicabile" ... Altrimenti come interpretare i punti b) e c)?
P.S.: Inoltre, la risposta al punto a) è molto sindacabile.
Infatti, una funzione può essere derivabile in tutto un intervallo \(I\)e, ciò nonostante, la derivata prima può ammettere punti di discontinuità. Ad esempio:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), ma la sua derivata prima è discontinua in \(0\).
Perciò, affinché una funzione sia derivabile in un dato intervallo non c'è bisogno che la derivata sia ivi continua.
Grazie mille per le tue risposte.. Hai pienamente ragione.. Non so come ho fatto a non accorgermene..
Allora, ho provato a seguire il tuo ragionamento ma non sono certa di ragionare nel modo corretto:
ho calcolato \(\displaystyle \int_0^{n\pi} |sint| dt = 4\) E' giusto? Non sono per niente certa di ciò che ho fatto...
Ho calcolato anche \(\displaystyle \int_0^{(n+1)\pi} |sint| dt = 4\) di nuovo...
\(\displaystyle g(n\pi) = n\pi + \frac{\pi}{2} \) e \(\displaystyle g((n+1)\pi) = (n+1)\pi + \frac{\pi}{2} \)
Se ora calcolo: \(\displaystyle \frac{F(n\pi)}{g((n+1)\pi)} \leq \frac{F(x)}{g(x)} \leq \frac{F((n+1)\pi)}{g(n\pi)} \) mi viene
\(\displaystyle \frac{4}{(n+1)\pi + \frac{\pi}{2}} \leq \frac{F(x)}{g(x)} \leq \frac{4}{n\pi + \frac{\pi}{2}} \)
Poichè il primo termine e l'ultimo tendono entrambi a \(\displaystyle 0 \) allora anche \(\displaystyle \frac{F(x)}{g(x)} \) tenderà a \(\displaystyle 0 \).
Riguardo il punto a) ti ringrazio molto per la tua precisazione che mi è sembrata corretta e puntuale. Ma quindi quali sono le condizioni che devo verificare per sapere se una funzione è derivabile? Basta la continuità della derivata prima? Voglio dire: posto che la derivata prima sia continua come faccio a dire che la funzione è anche derivabile? Io generalmente la derivavo e verificavo che non ci fossero punti di non derivabilità (punti angolosi, cuspidi, punti di flesso... ) Come faccio a fare un'analisi più approfondita?
Come avresti risposto tu al punto a) ?
Ti ringrazio davvero di cuore per l'aiuto che mi stai dando..
Allora, ho provato a seguire il tuo ragionamento ma non sono certa di ragionare nel modo corretto:
ho calcolato \(\displaystyle \int_0^{n\pi} |sint| dt = 4\) E' giusto? Non sono per niente certa di ciò che ho fatto...
Ho calcolato anche \(\displaystyle \int_0^{(n+1)\pi} |sint| dt = 4\) di nuovo...
\(\displaystyle g(n\pi) = n\pi + \frac{\pi}{2} \) e \(\displaystyle g((n+1)\pi) = (n+1)\pi + \frac{\pi}{2} \)
Se ora calcolo: \(\displaystyle \frac{F(n\pi)}{g((n+1)\pi)} \leq \frac{F(x)}{g(x)} \leq \frac{F((n+1)\pi)}{g(n\pi)} \) mi viene
\(\displaystyle \frac{4}{(n+1)\pi + \frac{\pi}{2}} \leq \frac{F(x)}{g(x)} \leq \frac{4}{n\pi + \frac{\pi}{2}} \)
Poichè il primo termine e l'ultimo tendono entrambi a \(\displaystyle 0 \) allora anche \(\displaystyle \frac{F(x)}{g(x)} \) tenderà a \(\displaystyle 0 \).
Riguardo il punto a) ti ringrazio molto per la tua precisazione che mi è sembrata corretta e puntuale. Ma quindi quali sono le condizioni che devo verificare per sapere se una funzione è derivabile? Basta la continuità della derivata prima? Voglio dire: posto che la derivata prima sia continua come faccio a dire che la funzione è anche derivabile? Io generalmente la derivavo e verificavo che non ci fossero punti di non derivabilità (punti angolosi, cuspidi, punti di flesso... ) Come faccio a fare un'analisi più approfondita?
Come avresti risposto tu al punto a) ?
Ti ringrazio davvero di cuore per l'aiuto che mi stai dando..
Per quel che riguarda il punto a), basta osservare che, essendo \(F\) la funzione integrale di punto iniziale \(0\) di una funzione continua (quale è \(|\sin x|\)), essa è derivabile per il teorema fondamentale del Calcolo Integrale; inoltre, \(g\) è somma di funzioni derivabili, quindi è derivabile.
La continuità delle due derivate è un'informazione in più.
Per il resto, il calcolo dell'integrale è sbagliato.
Invero, con una cambiamento di variabile (i.e., \(\tau =t-k\pi\) per \(k=0,\ldots, n-1\)) si ha:
\[
\int_0^{n\pi} |\sin t|\ \text{d} t = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t|\ \text{d} t = \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^\pi \sin t\ \text{d} t = n\ \int_0^\pi \sin t\ \text{d} t =2n\; .
\]
Per giustificare la formula, basta dare un'occhiata al grafico qui sotto:
[asvg]xmin=0; xmax=14; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("abs(sin(x))",0,16);[/asvg]
da cui si vede chiaramente che, ad esempio:
\[
\int_0^{4\pi} |\sin t|\ \text{d} t= 4\int_0^\pi \sin t\ \text{d} t=8\; .
\]
La continuità delle due derivate è un'informazione in più.
Per il resto, il calcolo dell'integrale è sbagliato.
Invero, con una cambiamento di variabile (i.e., \(\tau =t-k\pi\) per \(k=0,\ldots, n-1\)) si ha:
\[
\int_0^{n\pi} |\sin t|\ \text{d} t = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t|\ \text{d} t = \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^\pi \sin t\ \text{d} t = n\ \int_0^\pi \sin t\ \text{d} t =2n\; .
\]
Per giustificare la formula, basta dare un'occhiata al grafico qui sotto:
[asvg]xmin=0; xmax=14; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("abs(sin(x))",0,16);[/asvg]
da cui si vede chiaramente che, ad esempio:
\[
\int_0^{4\pi} |\sin t|\ \text{d} t= 4\int_0^\pi \sin t\ \text{d} t=8\; .
\]
Ci ho messo un po' ma ora credo di aver capito.. 
Grazie davvero moltissimo!
Grazie davvero moltissimo!
Ciao..
Scusami se ti stresso ancora con questo esercizio, è solo per essere sicura di avere ben capito.. In definitiva:
\(\displaystyle lim_{x\rightarrow \infty} \frac{F(x)}{g(x)} = \frac{2}{\pi}\)
Ho sbagliato ancora?
Scusami se ti stresso ancora con questo esercizio, è solo per essere sicura di avere ben capito.. In definitiva:
\(\displaystyle lim_{x\rightarrow \infty} \frac{F(x)}{g(x)} = \frac{2}{\pi}\)
Ho sbagliato ancora?
"Elena4":
In definitiva:
\(\displaystyle lim_{x\rightarrow \infty} \frac{F(x)}{g(x)} = \frac{2}{\pi}\)
Ho sbagliato ancora?
Nooo, stavolta il calcolo è giusto!
Dopo tante fatiche.... Grazie a te!!!
Grazie a te!!!
Ciao,
scusa se ti disturbo di nuovo... Oggi mi sono imbattuta in un altro esercizio che mi ha messo in crisi.. Mi aiuteresti?
Cosa si può dire della funzione \(\displaystyle \int_0^{+\infty} sign(sin(x^2)) dx\)?
A me era venuto in mente di applicare il criterio di Leibniz per le serie ma non so come fare per scrivere la serie che rappresenta quell'integrale che sia infinitesima e decrescente.. Mi daresti una mano? Grazie!
scusa se ti disturbo di nuovo... Oggi mi sono imbattuta in un altro esercizio che mi ha messo in crisi.. Mi aiuteresti?
Cosa si può dire della funzione \(\displaystyle \int_0^{+\infty} sign(sin(x^2)) dx\)?
A me era venuto in mente di applicare il criterio di Leibniz per le serie ma non so come fare per scrivere la serie che rappresenta quell'integrale che sia infinitesima e decrescente.. Mi daresti una mano? Grazie!
.. un'idea che mi era venuta è osservare che
\(\displaystyle \int_0^{+\infty} sign sin(x^2) dx \leq \int_0^{+\infty} |sin(x^2)| dx \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \). Quest'ultima serie è infinitesima e decrescente e quindi, per il teorema diLeibniz, l'integrale di partenza è convergente..
Che dici funziona? C'è qualche errore?
\(\displaystyle \int_0^{+\infty} sign sin(x^2) dx \leq \int_0^{+\infty} |sin(x^2)| dx \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \). Quest'ultima serie è infinitesima e decrescente e quindi, per il teorema diLeibniz, l'integrale di partenza è convergente..
Che dici funziona? C'è qualche errore?
Ma guarda che non è proprio possibile fare la maggiorazione \(\operatorname{sign}(\sin y) \leq |\sin y|\) (perchè?).
Comunque, c'è già qualcuno che sta facendo questo stesso esercizio o uno molto simile (qualche collega, forse?)... Prova a cercare nelle prime pagine della sezione.
P.S.: Perchè non provare la sostituzione \(t=x^2\)?
Comunque, c'è già qualcuno che sta facendo questo stesso esercizio o uno molto simile (qualche collega, forse?)... Prova a cercare nelle prime pagine della sezione.
P.S.: Perchè non provare la sostituzione \(t=x^2\)?
Ciao!
Rieccomi qui.. Allora, ho provato a seguire il tuo consiglio e fare la sostituzione \(\displaystyle x^2 = t \). Quindi l'integrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} sing(sin(x^2)) dx\) diventa
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \sum_{k=0}^n (-1)^k\sqrt{t}|_{k\pi}^{(k+1)\pi} = \sum_{k=0}^n (-1)^k\sqrt{\pi}(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \).
Questa è una serie a segni alterni con termine generale \(\displaystyle a_k = \sqrt{\pi}(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \) decrescente e infinitesimo. Quindi dovrebbe convergere per Leibniz...
Infatti se faccio \(\displaystyle lim_{n\rightarrow +\infty} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = 0\)
Può funzionare?
Rieccomi qui..
Allora, ho provato a seguire il tuo consiglio e fare la sostituzione \(\displaystyle x^2 = t \). Quindi l'integrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} sing(sin(x^2)) dx\) diventa \(\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \sum_{k=0}^n (-1)^k\sqrt{t}|_{k\pi}^{(k+1)\pi} = \sum_{k=0}^n (-1)^k\sqrt{\pi}(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \).
Questa è una serie a segni alterni con termine generale \(\displaystyle a_k = \sqrt{\pi}(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \) decrescente e infinitesimo. Quindi dovrebbe convergere per Leibniz...
Infatti se faccio \(\displaystyle lim_{n\rightarrow +\infty} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = 0\)
Può funzionare?
No, non funziona... perchè non è vero che \(\displaystyle a_k = \sqrt{\pi} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \) è decrescente.. Ho scritto una stupidaggine.. Ecco quindi mi sono bloccata... 
Ma guarda... A me quella roba lì, cioè \(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\), pare proprio decrescente!
E' vero, ho riverificato e mi viene proprio descrescente!!!
Allora funziona il mio ragionamento???
Allora funziona il mio ragionamento???
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