Limiti e forme indeterminate

[Daken97]

Scusate ragazzi, ho un dubbio enorme che riguarda le forme indeterminate, in particolare, $ 1^∞ $ . Ma se, in seguito alle operazioni di calcolo di un limite, venisse un numero diverso da uno elevato alla infinito, come mi dovrei comportare? Sarebbe anch'essa una forma indeterminata analoga?

Es. $ lim_(x ->∞)(2+1/x)^x $

In questo caso, se applicasse le regole dell'algebra dei limiti, verrebbe proprio una forma di quel tipo, che è diversa da $ 1^∞ $ del limite notevole di Nepero ($ lim_(x ->∞)(1+1/x)^x $ )

[axpgn]

Non è chiaro cosa intendi ... comunque quella non è una forma indeterminata ...

[Daken97]

"axpgn":Non è chiaro cosa intendi ... comunque quella non è una forma indeterminata ...

Dunque, il limite di Nepero, è una forma indeterminata di tipo $ 1^∞ $ . Quella che ho mostrato io, è una forma del tipo $ 2^∞ $ . Ergo, mi domando come mi devo muovere nei casi in cui si presentano forme di questo genere... sono analoghe a quella $ 1^∞ $, oppure non sono indeterminate?

[axpgn]

Quanto fa $2^100$ ? Tanto. Quanto fa $2^1000$ ? Più tanto. Semplice, no?

[Daken97]

"axpgn":Quanto fa $2^100$ $ 1^∞ $ Tanto. Quanto fa $2^1000$ ? Più tanto. Semplice, no?

Bene, quindi nelle tabelle dei calcoli infinitesimali, ci andrebbe anche aggiunto che $ n^∞ $ (con n>1) è $ ∞ $. Però adesso mi sorge spontanea una domanda... perché $ 1^∞ $ è una forma indeterminata?

[axpgn]

Non ti sembra eccessivo aggiungerla in tabella? Mi sembra ovvio, no?
Soprattutto se si conosce la funzione esponenziale ...

Invece ... quando la base è esattamente $1$, non c'è nessuna indeterminazione perché $1*1*1*...=1$ ma di solito la base è qualcosa che tende a $1$ ma non è mai $1$, e questo fa tutta la differenza del mondo.
Da qui la forma indeterminata ...

[Daken97]

"axpgn":Non ti sembra eccessivo aggiungerla in tabella? Mi sembra ovvio, no?
Soprattutto se si conosce la funzione esponenziale ...

Invece ... quando la base è esattamente $1$, non c'è nessuna indeterminazione perché $1*1*1*...=1$ ma di solito la base è qualcosa che tende a $1$ ma non è mai $1$, e questo fa tutta la differenza del mondo.
Da qui la forma indeterminata ...

Quindi, il mio dubbio era legittimo, perché anche nel caso di $ 2^∞ $, non ho esattamente 2 (mi riferisco alla funzione che ho scritto all'inizio), ma qualcosa che tende a 2. Perciò, continuo a chiedermi perché $ 1^∞ $ sia indeterminata e le altre no... ovviamente, mi riferisco sempre ai casi in cui il valore tende a n, ma non è esattamente n.

[axpgn]

Qualcosa quasi due per qualcosa quasi due farà qualcosa quasi quattro e poi quasi otto e così via quindi diventa sempre più grande comunque ...
Mentre qualcosa che si avvicina a uno moltiplicato per sé stesso può diventare qualcosa di sempre più piccolo (fino a diventare uno) o qualcosa di sempre più grande o anche qualcosa di intermedio e rimanere lì (come il limite di Nepero).
Comunque, come detto, studiati la funzione esponenziale (fondamentale) e ti sarà tutto più chiaro.

[Daken97]

"axpgn"::roll:

Qualcosa quasi due per qualcosa quasi due farà qualcosa quasi quattro e poi quasi otto e così via quindi diventa sempre più grande comunque ...
Mentre qualcosa che si avvicina a uno moltiplicato per sé stesso può diventare qualcosa di sempre più piccolo (fino a diventare uno) o qualcosa di sempre più grande o anche qualcosa di intermedio e rimanere lì (come il limite di Nepero).
Comunque, come detto, studiati la funzione esponenziale (fondamentale) e ti sarà tutto più chiaro.

Io la conosco bene la funzione esponenziale, però ho ancora poca praticità con il calcolo dei limiti. Riguardo alle potenze di 1, per me ci sono solo possibilità: qualcosa di più grande di 1 moltiplicato all'infinito per sé stesso, tende a diventare sempre più grande; qualcosa di un po' più piccolo di 1 moltiplicato per sé stesso all'infinito, tende a diventare sempre più piccolo. Messa così, è comunque giustificato il fatto che $ 1^∞ $ è considerata una forma indeterminata e le altre no (bisogna prendere in considerazione gli "intorni" dei valori presi in esame), ma ad oggi so riconoscere solo quelle situazioni, riguardo ai valori "intorno" all'uno. Nel caso del numero di Nepero, la funzione si avvicina sempre di più ad esso (quindi per i valori positivi è crescente), senza mai raggiungerlo.