Limiti e derivate di funzioni con integrali

[phusys-votailprof]

Allora..ho i seguenti due esercizi che mi tormentano:




Mi piacerebbe sapere come caspita si risolvono visto che sono molto frequenti nell'esame di analisi che affronterò lunedì.

Grazie

[phusys-votailprof]

sul primo esercizio è possibile che essendo la funzione integranda una derivata ed avendo a moltiplicare un 1/x possa applicare il teorema di De L'hopital così che torna 0 il limite?

[goblyn]

L'integrale nel primo esercizio converge ad un valore M reale. Infatti:

|sin(t)/(t+t^2)|<=1/(t^2) per t>t0 opportuno

Quindi il limite diventa:

M/x con M reale e x-->inf, il risultato è quindi 0.

[goblyn]

Per il secondo, a parte la derivata dell'arcotangente, il risultato è:

2*cos(1/(2x-1)) - cos(1/x)

cioè la derivata è l'integranda calcolata negli estremi moltiplicata per la derivata degli estremi.