Limiti e cambiamento di variabile
Come al solito non trovo la dimostrazione di un teorema..
siano $f:AsubseteqRR^n->RR$ e $phi:JsubseteqRR->RR^n$ due funzioni tali che $phi(J)subseteqA$ e sia $t_0$ di accumulazione per $J$
• $existsx_0inRR^n:lim_(t->t_0)phi(t)=x_0$
• $x_0$ è di accumulazione per $A$ e $existsl inRR:lim_(x->x_0)f(x)=l$
• esiste un intorno di $x_0$ in cui $fcircphi$ è definitivamente diversa da $l$
Allora $lim_(x->x_0)f(x)=lim_(t->t_0)f(phi(t))$
Facendola breve $phi(t)$ starà in un intorno di $x_0$ per $t$ che sta in un opportuno intorno di $t_0$
Quindi è possibile far si che $f(phi(t))$ appartenga a un intorno di $l$
La domanda che mi sorge è: a cosa mi serve la terza ipotesi?
siano $f:AsubseteqRR^n->RR$ e $phi:JsubseteqRR->RR^n$ due funzioni tali che $phi(J)subseteqA$ e sia $t_0$ di accumulazione per $J$
• $existsx_0inRR^n:lim_(t->t_0)phi(t)=x_0$
• $x_0$ è di accumulazione per $A$ e $existsl inRR:lim_(x->x_0)f(x)=l$
• esiste un intorno di $x_0$ in cui $fcircphi$ è definitivamente diversa da $l$
Allora $lim_(x->x_0)f(x)=lim_(t->t_0)f(phi(t))$
Facendola breve $phi(t)$ starà in un intorno di $x_0$ per $t$ che sta in un opportuno intorno di $t_0$
Quindi è possibile far si che $f(phi(t))$ appartenga a un intorno di $l$
La domanda che mi sorge è: a cosa mi serve la terza ipotesi?
Risposte
Magari servirà nella dimostrazione, che non trovi...ma te non hai studiato sul Trapani analisi 1? Lì mi pare c'era un teorema simile, e forse era dimostrato
Si, ma è tra quei teoremi che non dimostra 
Sì, quell'ipotesi è necessaria, e può essere sostituita dalla continuità di $\f$ in $x_0$.
Un controesempio per mostrarne la necessità credo sia questo (uso notazioni diverse dalle tue per alleggerire il tutto).
Considera le funzione reali di variabile reale $f,g$ tali che $f(x)=0$ e $g(y)={(1,if y=0),(0,if y!=0):}$.
Hai che $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0$ e $ \lim_{y\rightarrow 0} g(y)=0$; e tuttavia $\lim_{x\rightarrow 0} g(f(x))=1\ne 0$, benché siano verificate le prime due ipotesi.
La dimostrazione del teorema è abbastanza facile; nei testi su cui ho studiato era quasi sempre un esercizio. Per capire dove entra in gioco la terza ipotesi, ricorda un dettaglio nella definizione di limite: $$\lim_{x \to x_0} F(x)=L \Leftrightarrow \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : x\in Dom(F), 0<||x-x_0||<\delta \implies ||F(x)-l||<\epsilon $$
Fa' molta attenzione a quel $0<||x-x_0||$
Un controesempio per mostrarne la necessità credo sia questo (uso notazioni diverse dalle tue per alleggerire il tutto).
Considera le funzione reali di variabile reale $f,g$ tali che $f(x)=0$ e $g(y)={(1,if y=0),(0,if y!=0):}$.
Hai che $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0$ e $ \lim_{y\rightarrow 0} g(y)=0$; e tuttavia $\lim_{x\rightarrow 0} g(f(x))=1\ne 0$, benché siano verificate le prime due ipotesi.
La dimostrazione del teorema è abbastanza facile; nei testi su cui ho studiato era quasi sempre un esercizio. Per capire dove entra in gioco la terza ipotesi, ricorda un dettaglio nella definizione di limite: $$\lim_{x \to x_0} F(x)=L \Leftrightarrow \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : x\in Dom(F), 0<||x-x_0||<\delta \implies ||F(x)-l||<\epsilon $$
Fa' molta attenzione a quel $0<||x-x_0||$
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