Limiti di una funzione(esercizio)

[jack890]

Buonasera, ho un problema con questa funzione

$ (2x+1)/sqrt(x^2+4) $

Dovrei calcolare il limite per x che tende a infinito e -infinito. Ho provato ad applicare il teorema de l'Hopital, ma entro in un loop continuo. Non so se sbaglio qualche passaggio o che metodo intraprendere, grazie in anticipo per l'aiuto.

[billyballo2123]

Puoi scriverla in questo modo:
\[
\frac{2x+1}{|x|\Big(1+\frac{4}{x^2}\Big)^{1/2}}
\]
che è asintotica a
\[
\frac{2x+1}{|x|\Big(1+\frac{2}{x^2}\Big)}
\]
(ho usato il fatto che $\lim_{y\to 0} (1+y)^{\alpha}$ è asintotico a $(1+\alpha y)$, con $y=4/x^2$).

[jack890]

Grazie per la risposta, ho capito il secondo passaggio che ha spiegato, ma non ho capito come ha ottenuto il valore assoluto al denominatore nel primo. Il risolutore di limiti mi da come risultato 2 per x->infinito e -2 per x->-infinito, ma non riesco ad ottenerli.

[billyballo2123]

\[
\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2\Big(1+\frac{4}{x^2}\Big)}}=\frac{2x+1}{|x|\sqrt{\Big(1+\frac{4}{x^2}\Big)}}=
\frac{2x+1}{|x|\Big(1+\frac{4}{x^2}\Big)^{1/2}}
\]
Una volta applicato l'asintotico, si può "buttare" $(1+2/x^2)$ (dato che è a sua volta asintotico a $1$), ed essendo il numeratore asintotico a $2x$, rimane $(2x)/|x|$, che è uguale a $2$ se $x$ è positivo (cioè $x\to +\infty$) e $-2$ se $x$ è negativo ($x\to -\infty$).

[jack890]

Perfetto grazie ancora, ora mi è tutto chiaro.

[billyballo2123]

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