Limiti di successsioni

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Buongiorno, devo calcolare il lim min e max della seguente successione

$b_n=(cosnpi(n/((n!)^(1/n)))$

ho riscritto $cosnpi=(-1)^n$

e studio la successione per n pari e per n dispari. Per n pari mi viene

$b_n = (n/(n!)^(1/n))$

posso riscrivere $(n!)=(n(n-1)!)=n(n-1)(n-2)!$

Ma come continuo? come risolvo il limite?

Non ho fatto Stirling

[pilloeffe]

Ciao Smon57,

Innanzitutto nel titolo c'è una s di troppo...

"Smon97":Non ho fatto Stirling

Peccato, perché con Stirling forse sarebbe stato più semplice, comunque potresti dare un'occhiata al paragrafo Stime elementari che compare qui e partire dalla disuguaglianza seguente:

$e(n/e)^n <= n! <= en (n/e)^n $

$e^{1/n} n/e <= (n!)^{1/n} <= e^{1/n} n^{1/n} n/e $

$ e^{1/n - 1} <= (n!)^{1/n}/n <= e^{1/n - 1} n^{1/n} $

Invertendo si ha:

$ 1/(e^{1/n - 1} n^{1/n}) <= n/(n!)^{1/n} <= 1/e^{1/n - 1} $

Da quest'ultima disuguaglianza si deduce che si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} n/(n!)^{1/n} = e $