Limiti di successioni trigonometriche

[zoooooo1]

salve a tutti non riesco a risolvere questi limiti. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

lim (3n+2)*sen( ($ pi $n-5)/(n+7))
n->+inf

[Nietzsche610]

Scrivendo l'argomento del limite in questo modo:

$sin((\pin-5)/(n+7))/(1/(3n+2))$,

ti viene in mente qualche teorema che ti potrebbe essere utile?

[zoooooo1]

Magari de l'hopital. Però con le successioni? E cmq visto che questo limite me lo hanno assegnato prima di fare questo teorema volevo provare a farlo senza. Ma non ci riesco! dovrebbe venire 3(7π+5).

[Antimius]

In effetti, non c'è bisogno di De l'Hopital. Basta ricondursi a un limite notevole.

[zoooooo1]

sinn/n?

[gugo82]

Innanzitutto, comincia a seguire il consiglio di Gabriele e riscrivi il tuo limite come ti ha mostrato.
A questo punto, cosa puoi dire del denominatore?
E cosa del numeratore? In particolare, che cosa succede all'argomento del seno?

[zoooooo1]

con il principio di sostituzione degli infiniti l'argomento del seno è asintotico a π quindi il numeratore è 0 vale lo stesso per il denominatore quind si ha 0/0. Non so propio come trasformare il numeratore.

[zoooooo1]

ho risolto con gli archi associati! grazie lo stesso..cmq se avete altri modi scriveteli che è sempre utilissimo!

[gugo82]

Esatto.

L'idea più feconda è quella di scrivere:
\[
\begin{split}
\sin \left( \frac{\pi n -5}{n+7}\right) &= \sin \left( \frac{\pi n -5}{n+7}-\pi + \pi\right)\\
&= -\sin \left( \frac{\pi n -5}{n+7}-\pi \right)\\
&= - \sin \left( - \frac{5 + 7\pi}{n+7} \right)\\
&= \sin \left( \frac{5 + 7\pi}{n+7} \right)
\end{split}
\]
in modo da poter applicare il limite notevole del seno al numeratore ed ottenere:
\[
\begin{split}
\lim_n (3n+2)\ \sin \left( \frac{\pi n -5}{n+7}\right) &= \lim_n (3n+2)\ \sin \left( \frac{5 + 7\pi}{n+7} \right)\\
&= \lim_n (3n+2)\ \frac{\sin \left( \frac{5 + 7\pi}{n+7} \right)}{\frac{5+7\pi}{n+7}}\ \frac{5+7\pi}{n+7}\\
&= \lim_n \frac{\sin \left( \frac{5 + 7\pi}{n+7} \right)}{\frac{5+7\pi}{n+7}}\ \frac{(5+7\pi)(3n+2)}{n+7}\\
&= 3(5+7\pi)\; .
\end{split}
\]