Limiti di successioni: metodi risolutivi
Salve a tutti ragazzi, finalmente ho deciso di unirmi alla comunità del sito di matematica più consultato! 
Dunque, vado subito al sodo...
A breve ho l'esame di Analisi I e purtroppo coi limiti non ci so fare molto (causa superiori fatte male). In particolare non riesco ad applicare i metodi risolutivi per poter calcolare un limite, vi faccio un esempio:
in un qualsiasi limite di successione, di solito tendo a mettere in evidenza la massima potenza della x e, con calcoli elementari, riesco poi a trovare il valore del limite. Poi ci sono casi in cui mi blocco, ad esempio questo:
lim ( $ rarr +oo $ ) di $ sqrt(n) (sqrt(n+1)-sqrt(n) ) $
Addirittura mi è stato consigliato di usare, su un canale IRC inglese, il "mean value theorem", e credo che si riferisca a quale teorema? Cesaro? Come applico un teorema per calcolare il valore di un limite? Forse è questo ciò che mi manca ma non saprei da dove iniziare...
Dunque, vado subito al sodo...A breve ho l'esame di Analisi I e purtroppo coi limiti non ci so fare molto (causa superiori fatte male). In particolare non riesco ad applicare i metodi risolutivi per poter calcolare un limite, vi faccio un esempio:
in un qualsiasi limite di successione, di solito tendo a mettere in evidenza la massima potenza della x e, con calcoli elementari, riesco poi a trovare il valore del limite. Poi ci sono casi in cui mi blocco, ad esempio questo:
lim ( $ rarr +oo $ ) di $ sqrt(n) (sqrt(n+1)-sqrt(n) ) $
Addirittura mi è stato consigliato di usare, su un canale IRC inglese, il "mean value theorem", e credo che si riferisca a quale teorema? Cesaro? Come applico un teorema per calcolare il valore di un limite? Forse è questo ciò che mi manca ma non saprei da dove iniziare...
Risposte
Se quel limite che hai scritto viene 0, si può tranquillamente risolvere con il metodo che usi tu:
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n^2+n)-n =$
$=\lim_{n \to \infty}nsqrt(1+(1/n))-n =$
$=\lim_{n \to \infty}nsqrt(1+0)-n = \lim_{n \to \infty}n-n=0$
Io lo risolverei così, ma chiedo comunque conferma agli esperti!
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n^2+n)-n =$
$=\lim_{n \to \infty}nsqrt(1+(1/n))-n =$
$=\lim_{n \to \infty}nsqrt(1+0)-n = \lim_{n \to \infty}n-n=0$
Io lo risolverei così, ma chiedo comunque conferma agli esperti!
La successione è questa $ root(n) (sqrt(n+1)-sqrt(n) ) $ ?
"valentina92":
$=\lim_{n \to \infty}nsqrt(1+0)-n$
fai attenzione, questo è sbagliatissimo. non puoi fare un limite mandando "prima" ad infinito alcune \(n\) e poi altre \(n\).
seguendo lo stesso ragionamento faresti
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=\lim_{n\to\infty}(1+0)^n=1\)
e saprai bene che è un erroraccio.
"Seneca":
La successione è questa $ root(n) (sqrt(n+1)-sqrt(n) ) $ ?
No, è quella che ho scritto.
@valentina: purtroppo il valore del limite è 1/2
$lim_n sqrt(n) (sqrt(n+1)-sqrt(n) ) = lim_n " "n (sqrt(1+1/n)-1 ) = lim_n (sqrt(1+1/n)-1 )/(1/n) = 1/2$
Infatti $lim_(y -> 0) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$.
Infatti $lim_(y -> 0) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$.
Oppure, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)}=\frac{1}{2}\)
Santo Cielo, me ne sono accorta solo ora. Mi vergogno di me!! Chiedo scusa. Allora proverei con una razionalizzazione!
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n^2+n)-n ((sqrt(n^2+n)+n)/(sqrt(n^2+n)+n)) =$
$=\lim_{n \to \infty}(n^2+n-n^2)/(sqrt(n^2+n)+n) =$
$=\lim_{n \to \infty}n/(nsqrt(1+(1/n))+n) =$
$=\lim_{n \to \infty}n/(n(sqrt(1+(1/n))+1))= 1/(sqrt(1+0) +1)) = 1/2$
Molto meglio. Ed ecco qua $1/2$.
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n^2+n)-n ((sqrt(n^2+n)+n)/(sqrt(n^2+n)+n)) =$
$=\lim_{n \to \infty}(n^2+n-n^2)/(sqrt(n^2+n)+n) =$
$=\lim_{n \to \infty}n/(nsqrt(1+(1/n))+n) =$
$=\lim_{n \to \infty}n/(n(sqrt(1+(1/n))+1))= 1/(sqrt(1+0) +1)) = 1/2$
Molto meglio. Ed ecco qua $1/2$.
Forse la mia domanda è stata un po' "sviata", o meglio, ringrazio per il calcolo del limite e per il suggerimento (razionalizzazione). Però, la mia questione era un'altra: come avrei potuto applicare il "mean value theorem" (quello che io ho frainteso con teorema della media)?
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