Limiti di Successioni - Forme di Indeterminazione

[Lorenz90]

$lim_(n->infty) (4-3e^(1/n))^(3n)$

$lim_(n->infty) (4-3e^(1/n))^(3n) = lim_(n->infty) 3n log (4-3e^(1/n))=... $

..Impasse totale: non riesco a ricondurre il tutto al "limite neperiano" (fondamentale)!!!

[gugo82]

Beh, osserverei che:
\[
(4 - 3e^{1/n})^{3n} = [1+3(1-e^{1/n})]^{3n} = \Big[ [1+3(1-e^{1/n})]^{1/(3(1-e^{1/n}))}\Big]^{9n(1-e^{1/n})}
\]
con la base dell’ultimo membro che tende ad $e$ e l’esponente più esterno che tende a $-9$.

[Lorenz90]

"gugo82":Beh, osserverei che:
\[
(4 - 3e^{1/n})^{3n} = [1+3(1-e^{1/n})]^{3n} = \Big[ [1+3(1-e^{1/n})]^{1/(3(1-e^{1/n}))}\Big]^{9n(1-e^{1/n})}
\]
con la base dell’ultimo membro che tende ad $e$ e l’esponente più esterno che tende a $-9$.

Bene, non credevo fosse "lecito" scomporre il $4$ in $1+3$, per poi riformulare il tutto come \[ \Big[ [1+3(1-e^{1/n})]^{1/(3(1-e^{1/n}))}\Big]^{9n(1-e^{1/n})}
\]
Ad ogni modo, mi sfugge un "particolare" molto importante: perché occorre moltiplicare l'esponente iniziale - $3n$ - per la successione $a_(n) = 3(1-e^(1/n))$, ottenendo così $9n(1-e^(1/n))$?
Inoltre, si ha $lim_(n->infty) 9n(1-e^(1/n)) = lim_(n->infty) 9n (-1/n) (1+o(1))$ e pertanto il limite tenderebbe a $-9$ come hai detto, giusto? Grazie mille!!

[gugo82]

Perché:
\[
\lim_{x\to 0} ( 1 + x)^{1/x} = e\; .
\]

[Matricola252]

Prova ad agire con Taylor, non viene il numero di nepero, ma viene 0

[Lorenz90]

"gugo82":Perché:
\[
\lim_{x\to 0} ( 1 + x)^{1/x} = e\; .
\]

Propongo un altro limite:

$lim_(n->+infty) (-1)^n (sin[1/n tan(1/n)])/(tan[sin(1/n)])$

L'ho svolto in questa maniera:

$lim_(n->infty) (-1)^n (1/n^2 (1+o(1)))/(1/n (1+o(1))) = -1 (0)= 0$

In questo caso, è giusto dire che $(-1)^infty$ tende a $-1$ ??

[Lorenz90]

"Matricola252":Prova ad agire con Taylor, non viene il numero di nepero, ma viene 0

In quel caso, credo sia necessario seguire la strada dei "trucchi algebrici" di gugo82, per ricondursi al limite neperiano. Inoltre, il risultato di quel limite è proprio $e^-9$

[Indrjo Dedej]

$(-1)^\infty$ non si può vedere... E poi non esiste alcun $\psi \in \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ per cui $(-1)^n \to \psi$ per $n \to +\infty$. Quindi se con $(-1)^\infty$ pensavi di indicare $\lim_{n \to +\infty} (-1)^n$...

[Lorenz90]

"Indrjo Dedej":$(-1)^\infty$ non si può vedere... E poi non esiste alcun $\psi \in \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ per cui $(-1)^n \to \psi$ per $n \to +\infty$. Quindi se con $(-1)^\infty$ pensavi di indicare $\lim_{n \to +\infty} (-1)^n$...

In realtà, intendevo proprio $lim_(n->infty) (-1)^n$

[Indrjo Dedej]

... non ha senso infatti. Brutalmente quel limite non esiste. Sai che $\{(-1)^n\}$ è una successione limitata e che l'altra successione converge a $0$. E queste due premesse sono sufficienti per farti dire che il limite che volevi calcolare è $0$ (se non lo sai, provalo). Non ti far venire idee strane...

[Lorenz90]

"Indrjo Dedej":... non ha senso infatti. Brutalemnte quel limite non esiste. Sai che $\{(-1)^n\}$ è una successione limitata e che l'altra successione converge a $0$. E queste due premesse sono sufficienti per farti dire che il limite che volevi calcolare è $0$. Non ti far venire idee strane...

Il fatto è che siccome il limite notevole: $lim_(n->infty) 1^n = 1$, ho erroneamente pensato che potesse valere $(-1)^n = -1(n->infty)$

[Indrjo Dedej]

Ehi, $-1^n$ e $(-1)^n$ non sono sempre la stessa cosa...

[Lorenz90]

"Indrjo Dedej"::shock: Ehi, $-1^n$ e $(-1)^n$ non sono sempre la stessa cosa...

Cioè, intendi dire che se fosse stato $lim_(n->infty) -1^n$ Il risultato sarebbe stato proprio $-1$ ?? Perdonami ma in certi casi faccio un'enorme confusione! Urge un chiarimento!!

[Indrjo Dedej]

Sì, è questione di parentesi...

[Lorenz90]

"Indrjo Dedej":Sì, è questione di parentesi...

Afferrato il concetto!!!..