Limiti di successioni e sotto-successioni

[gasmoto]

ciao, ho un dubbio sull'argomento del titolo.

Ho studiato che una successione se è convergente allora converge anche ogni sua sotto-successione.

Ho però due domande:


1) se diverge?
ho trovato come unica dimostrazione:

che parla di regolari (e quindi anche divergenti per definizione) ma non capisco nulla della dimostrazione.
Cosa vuol dire se I appartiene a un intorno di l (deduco) "I∈ℑ(ℓ)" quindi [...] "x_kn ∈I"
Non ho davvero capito cosa stia facendo, mi sapreste spiegare


2) del teorema vale anche qualcosa di contrario? cioè se ogni sottosuccessione converge allora converge anche quella madre? Inoltre se ne trovo solo una di sottosuccessione che converge cosa accade?

vi ringrazio

[megas_archon]

Cosa vuol dire se I appartiene a un intorno di l (deduco) "I∈ℑ(ℓ)"

Sarà molto probabilmente il filtro degli intorni di \(\ell\). Per il resto basta leggere.

cioè se ogni sottosuccessione converge allora converge anche quella madre?

E' ovvio, pensaci.

Inoltre se ne trovo solo una di sottosuccessione che converge cosa accade?

In generale, ovviamente, non puoi dire niente: come ti aspetti di poter affermare qualcosa sulla convergenza di una successione, sapendo solo come si comporta una sola sottosuccessione?

[gasmoto]

Ciao grazie per la risposta.

Partiamo dal concetto che sono un ritardato, quindi quello che è ovvio per me non lo è , premesso questo, non avevo mai sentito parlare di filtro di intorni in questo corso di analisi:

Sarà molto probabilmente il filtro degli intorni di ℓ. Per il resto basta leggere.

il fatto è che non avendo una definizione precisa non capisco benissimo come si comporta. Leggendo quella pagina molto ampia non mi è chiarissimo. Mi sarebbe piaciuto avere una definizione e un insieme di proprietà di tale filtro cosi da metabolizzarle e capire come si comporta.

A parte che in quella pic fa tendere x->oo ma il limite di successione tende n->oo e questo già boh... perché scrive così?

1) ad esempio che per ogni $nu$ maggiore di $n$ $x_n$ appartenga a un elemento del filtro degli intorni non capisco perché.

2) $n<=k_n$ questo non ho ben capito perché, cioè ciò che indicizza la sottosuccessione è sicuramente più grande o al più uguale al naturale che indicizza la successione madre.

3) se $x_(k_n)$ sta in quell'I, elemento del filtro degli intorni allora $x_(k_n)->l$ io anche questo purtroppo non lo capisco, non ci arrivo


_________________

cioè se ogni sottosuccessione converge allora converge anche quella madre?

E' ovvio, pensaci.

Qui ritorno alla premessa, in realtà ci ho già pensato a lungo ma da solo non ci sono arrivato, per questo ho scritto. Ma prima di scrivere ci ho riflettutto invano.

Io so di non arrivarci ma vorrei solo capire. Posso chiederti uno spunto se non vuoi darmi la pappa pronta, non so davvero dove mettere mano.

[otta96]

La seconda è veramente ovvia, pensa alla definizione di sottosuccessione.

[gasmoto]

Grazie per la risposta.

Non avevo voglia di scrivere tutto il ragionamento che mi blocca ma noto che è doveroso a questo punto sennò non ne usciamo più XD:

La mia idea era questa dimostrare con la definizione che
1) per ogni $epsilon$ pos., esiste $n_0>0$ tale che per ogni $n_k>n_0$ si ha $|a_(n_k)-a| implica
2) per ogni $epsilon>0$ esiste $n_0>0$ tale che per ogni $n>n_0$ si ha $|a_(n)-a|
siccome vale per tutte le sottosuccessioni la 1) allora posso scegliere un $n_k'$ come massimo tra tutti gli nk per cui vale $|a_(n_k)-a|
E' evidente che la successione è sottosuccessione di se stessa e quindi sarebbe un gioco facile dire la sottosuccessione "se stessa" converge => converge la successione stessa. Mi voglio levare questo caso ovvio.

Ora, tolto questo caso io mi areno perché in generale $n_k'>n$ con n della 2) e quindi sono bloccato.

Questo per il secondo dubbio.

mentre per le domande riguardo al primo?:

Ciao grazie per la risposta.

Partiamo dal concetto che sono un ritardato, quindi quello che è ovvio per me non lo è , premesso questo, non avevo mai sentito parlare di filtro di intorni in questo corso di analisi:
[quote]Sarà molto probabilmente il filtro degli intorni di ℓ. Per il resto basta leggere.

il fatto è che non avendo una definizione precisa non capisco benissimo come si comporta. Leggendo quella pagina molto ampia non mi è chiarissimo. Mi sarebbe piaciuto avere una definizione e un insieme di proprietà di tale filtro cosi da metabolizzarle e capire come si comporta.

A parte che in quella pic fa tendere x->oo ma il limite di successione tende n->oo e questo già boh... perché scrive così?

1) ad esempio che per ogni $nu$ maggiore di $n$ $x_n$ appartenga a un elemento del filtro degli intorni non capisco perché.

2) $n<=k_n$ questo non ho ben capito perché, cioè ciò che indicizza la sottosuccessione è sicuramente più grande o al più uguale al naturale che indicizza la successione madre.

3) se $x_(k_n)$ sta in quell'I, elemento del filtro degli intorni allora $x_(k_n)->l$ io anche questo purtroppo non lo capisco, non ci arrivo
[/quote]

Grazie ragozzi

[otta96]

"gasmoto":E' evidente che la successione è sottosuccessione di se stessa e quindi sarebbe un gioco facile dire la sottosuccessione "se stessa" converge => converge la successione stessa. Mi voglio levare questo caso ovvio.

Ma non è un caso ovvio, è letteralmente la dimostrazione! Cosa pensi di dover fare oltre a notare questo?

[gasmoto]

In effetti col senno di poi ho girato male la domanda . Volevo dire che in effetti pensavo valesse la proposizione: "se ogni sottosuccessione converge allora converge anche quella madre" anche riformulandola escludendo la sottosuccessione "se stessa";

cioè mi immaginavo valesse (mia congettura) una cosa del genere: "se so che ogni sottosuccessione (esclusa la sottosuccessione madre) converge, allora converge anche quella madre".

[otta96]

Ma pure così è un'ipotesi veramente troppo forte, ad esempio puoi trascurare un numero finito di termini e avresti una successione convergente, ma dato che cambiando un numero finito di termini non cambia il carattere di una successione anche quella originale convergerebbe. C'è però una formulazione che ti permette di fare il viceversa, ed è la seguente: se ogni sottosuccessione ha una (sotto)sottosuccessione che converge a $l$, anche la successione originaria converge a $l$.

[gasmoto]

Ma pure così è un'ipotesi veramente troppo forte

immaginavo dopo quello che avevi suddetto. Però mi chiedevo: se non è vero che

[sapendo che ogni sottosuccessione eccetto la madre (di cui non so il comportamento) converge] => [ho che la successione madre da cui le ho estratte converge]

deve esistere un controesempio per cui, pur conoscendo tutte le sottosuccessioni (che sono convergenti) di una supposta successione si ha che tuttavia la successione che le ha "partorite" non converge. Ma vai a trovare un controesempio, devi conoscere infinite sottosuccessioni... come diamine fai a fare un controesempio su una infinità di possibilità?

[otta96]

Non esiste un controesempio perchè è vero, e te l'ho anche spiegato.

[gugo82]

Proviamo a vedere di spiegare un po' la situazione nel caso di successioni di numeri reali (rispetto alla topologia usuale).

Domanda 1: Esistono successioni che hanno tutte le estratte regolari e con lo stesso limite?

Sì: sono le successioni regolari.

Infatti si dimostra che una successione è regolare ed ha limite $l$ (finito o no) se e solo se tutte le sue estratte sono regolari ed hanno limite $l$.
Inoltre, la classe delle successioni estratte regolari è infinita: infatti, essa comprende tutte le successioni che si ottengono sopprimendo il primo, i primi due, i primi tre, ..., i primi $N$ termini della successione; e tali estratte (che non esauriscono tutte le possibilità) sono evidentemente infinite.

Domanda 2: Esistono successioni dalle quali si estraggono successioni regolari ed irregolari?

Sì: sono le successioni non regolari.

Infatti, si dimostra che da ogni successione non regolare si possono estrarre sia successioni regolari (convergenti ai vari valori di aderenza per la successione), sia successioni non regolari (basta "zompettare" tra gli elementi di due sottosuccessioni regolari ma con differenti limiti[nota][size=85]Ad esempio, considera la più classica delle successioni non regolari, i.e. quella di termine generale $x_n=(-1)^n$. Chiaramente le estratte di termine generale $x_(2n) = 1$ ed $x_(2n+1)=-1$ sono regolari e, rispettivamente, hanno limiti $1$ e $-1$. Ma allora la sottosuccessione estratta dalla famiglia di indici $k_n$ definiti per ricorrenza ponendo:
\[
\begin{cases} 0 &\text{, se } n = 0\\ 2k_{n-1} +1 &\text{, se } n \geq 1 \text{ è dispari}\\ 2k_{n-1} &\text{, se } n \geq 1 \text{ è pari}\end{cases}\; ,
\]
è costruita "zompettando" tra i termini di $(x_(2n))$ ed $(x_(2n+1))$ (provare per credere!) e non è regolare.[/size][/nota]).
Inoltre, entrambe le sottoclassi di estratte regolari e non regolari sono infinite.

Domanda 3: Esistono successioni che hanno tutte le estratte regolari, ma aventi limiti possibilmente differenti?[nota][size=85]Questo, formalizzando, vuol dire chiedersi se da una successione $(x_n)$, da cui si estraggono solo successioni regolari, si possono tirar fuori due estratte $(x_(k_n))$ ed $(x_(h_n))$ tali che $x_(k_n) -> kappa$ e $x_(h_n) -> eta$ con $kappa != eta$.[/size][/nota]

No, non ne esistono.

Infatti, se la successione considerata è regolare, le sue estratte sono regolari ma hanno lo stesso limite; assurdo.
Se, invece la successione non è regolare, da essa si estraggono anche sottosuccessioni non regolari; assurdo (bis!).

Domanda 4: Esistono successioni dalle quali si estraggono solo successioni non regolari?

No, non ne esistono.

Infatti, si dimostra che se una successione non è regolare, essa ha almeno un valore di aderenza $l$ (finito o no); ma allora si può costruire un'estratta che è regolare ed ha per limite $l$.

Domanda 5: Esistono successioni dalle quali si estraggono sottosuccessioni regolari in numero finito?

No, non ne esistono.

Infatti, se da una successione si estrae una sola sottosuccessione regolare, da essa si estraggono infinite sottosuccessioni (che sono estratte anche dalla successione originaria) regolari.

Domanda 6: Esistono successioni dalle quali si estraggono sottosuccessioni non regolari in numero finito?

No, non ne esistono.

Infatti, se da una successione si estrae una sola sottosuccessione non regolare, da essa si estraggono infinite sottosuccessioni (che sono estratte anche dalla successione originaria) non regolari.

***

Infine, propongo un:

Esercizio:

Supponiamo di avere una successione $(x_n)$ che gode della seguente proprietà[nota][size=85]Questa è la cosiddetta proprietà di Cauchy. Si dimostra che in $RR$ la (C) è sostanzialmente equivalente alla convergenza, ossia che sono convergenti tutte e sole le successioni reali che godono della (C). Tuttavia, l'esercizio può essere risolto anche facendo a meno di questo (fortissimo!) risultato... E ciò lo rende molto interessante, perché il ragionamento dimostrativo può essere applicato (proprio verbatim) in spazi in cui la (C) non è equivalente alla convergenza.[/size][/nota]:
\[
\tag{C} \forall \epsilon > 0,\ \exists \nu \ni \mathbb{N}:\quad \forall n,m \in \mathbb{N},\ n,m> \nu\ \Rightarrow\ |a_n - a_m| < \epsilon\; .
\]
Dimostra che se da $(x_n)$ si estrae una sottosuccessione convergente verso un $l in RR$, allora $(x_n)$ converge verso $l$.