Limiti di successioni di $l^2$
Sia $ {v^n}_(n in N) $ una successione dello spazio delle successioni $ l^2 $ sul campo complesso $ C $
Con con $ v_m^n $ intendo l'elemento $ m $-$ esimo $ della successione $ n $-$ esima $
Sono interessato a sapere se la seguente relazione è vera.
$ lim_(n -> oo ) v^n=v^0 $ (nella metrica di $ l^2 $) $ => lim_(n -> oo) v_m^n=v_m^0 $ (nella metrica usuale di $ C $)
Grazie.
Con con $ v_m^n $ intendo l'elemento $ m $-$ esimo $ della successione $ n $-$ esima $
Sono interessato a sapere se la seguente relazione è vera.
$ lim_(n -> oo ) v^n=v^0 $ (nella metrica di $ l^2 $) $ => lim_(n -> oo) v_m^n=v_m^0 $ (nella metrica usuale di $ C $)
Grazie.
Risposte
Sì! Infatti per ogni $m\in\mathbb{N}$ si ha che
\[
|v_m^n-v_m^0|\leq \sqrt{\sum_{k=1}^{+\infty}|v_k^n-v_k^0|^2}=||v^n-v^0||_2\to 0
\]
per $n\to +\infty$.
\[
|v_m^n-v_m^0|\leq \sqrt{\sum_{k=1}^{+\infty}|v_k^n-v_k^0|^2}=||v^n-v^0||_2\to 0
\]
per $n\to +\infty$.
Grazie billyballo2123, sempre gentilissimo e pronto 
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