Limiti di successioni, de L'Hopital e metodo del mandrillo
quindi in qualche caso si può usare de l'hospital x i limiti delle successioni?
Risposte
Molto interessanti le argomentazioni di Sergio ma aspetto una risposta definitiva dagli esperti... ubi maior minor cessat.
Interessante osservazione, posso chiedere una curiosità? Cos'è che suscita dubbi?
Eddai sei troppo modesto...
"Camillo":
Molto interessanti le argomentazioni di Sergio ma aspetto una risposta definitiva dagli esperti... ubi maior minor cessat.
Eddai sei troppo modesto...
E' un po' come il metodo di Urang Utan (c), dietro si nasconde una grande verità 
. De l'Hospital non può essere applicato direttamente alla successione, si passa dalla variabile discreta a quella continua ricorrendo al "teorema ponte". Bisognerebbe esplicitare questo fatto prima di applicare De l'Hospital.
PS: io non sono uno serio
. De l'Hospital non può essere applicato direttamente alla successione, si passa dalla variabile discreta a quella continua ricorrendo al "teorema ponte". Bisognerebbe esplicitare questo fatto prima di applicare De l'Hospital. PS: io non sono uno serio
"Mathematico":
E' un po' come il metodo di Urang Utan (c), dietro si nasconde una grande verità
PS: io non sono uno serio
Questo è quanto io direi come premessa prima di applicare il teorema di de l'Hopital a una successione.
Camillo:
Questo è quanto io direi come premessa prima di applicare il teorema di de l'Hopital a una successione.
Non ha molto significato dire 'applico il teorema di de l'Hopital a una successione', perchè questo teorema si calcola per risolvere i limiti che presentano forma indeterminata $(\infty) / \infty$ oppure $0/0$ (volendo, manipolando le funzioni, anche ai casi $0 * \infty$ e $\infty - \infty$).
Prima però bisogna avere chiaro il concetto di limite:
primo) ha senso calcolare il limite di una funzione, o di una successione, in un punto che non sia un punto d'accumulazione per il suo dominio?
secondo) perchè per le successioni si considera solo il limite di $a_n$ per $ n \to \infty$ ?
la risposta al primo punto è no, perchè dietro al concetto di limite c'è il concetto di avvicinamento indefinito al punto del dominio della funzione senza mai raggiungerlo. Se il dominio è $\NN$...
per il secondo punto la risposta è che l'infinito è un punto d'accumulazione per $\NN$, anzi, è l'unico punto d'accumulazione di $\NN$.
Dunque, per concludere, puoi applicare de l'Hopital al limite $\lim_{n \to \infty} (logn)/n$, perchè sono funzioni continue nel reale ampliato (che è un chiuso) e derivabili in $\RR$ (che è un aperto).
E' un caso un po' patologico ma dovrebbe andare bene.
Quanta carne al fuoco!
Parliamo del tema "scatenante", ovvero del teorema dell'Hospital.
Se ho una successione $a_n$ (andrebbe scritto: $(a_n)_{n \in NN}$, mentre $a_n$ indica un termine della successione, quello di indice $n$, ma tanto ci si capiisce lo stesso) di cui voglio sapere se ha limite e in caso affermativo quanto valga, ovviamente posso usare tutti i mezzi leciti...
Per esempio, prendere un'altra successione $b_n$, provare (ad esempio) che $b_n \to L$ e usare un teorema il quale mi garantisca che $b_n \to L$ implica $a_n \to L$.
Una idea interessante è quella di uscire fuori dal "mondo" delle successioni e trovare una funzione reale di variabile reale $f$ (che non sia essa stessa una successione... ricordo che le successioni sono funzioni reali di variabile reale(*)) t.c. ad esempio $\lim_{x \to oo} f(x) = L$ e poter garantire che
$\lim_{x \to oo} f(x) = L$ implica $a_n \to L$.
La "strada maestra" per ottenere l'ultima implicazione citata è il teorema di caratterizzazione dei limiti (di una frvr) mediante successioni, che in alcuni dialetti locali viene chiamato "teorema ponte". Noto che ci serve un "implica", quindi ovviamente in realtà ci basta solo "metà" di questo teorema.
Nulla vieta che si possa utilizzare il teorema dell'Hospital per studiare $\lim_{x \to oo} f(x)$, se lecito.
Una strada meno nota può essere basata sul "teorema dell'Hospital per successioni", ovvero il teorema di Stolz-Cesaro:
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3774
- qui la dim:
http://planetmath.org/encyclopedia/Proo ... eorem.html
- qui altro:
http://www.evaristogalois.it/02_MATEMAT ... SSIONI.pdf
(*)Per me una funzione reale di variabile reale [frvr] è $f:A \to RR$, con $A \subseteq RR$. Chiaro quindi che le successioni rientrano in questa def, basta prendere $A = NN$.
Parliamo del tema "scatenante", ovvero del teorema dell'Hospital.
Se ho una successione $a_n$ (andrebbe scritto: $(a_n)_{n \in NN}$, mentre $a_n$ indica un termine della successione, quello di indice $n$, ma tanto ci si capiisce lo stesso) di cui voglio sapere se ha limite e in caso affermativo quanto valga, ovviamente posso usare tutti i mezzi leciti...
Per esempio, prendere un'altra successione $b_n$, provare (ad esempio) che $b_n \to L$ e usare un teorema il quale mi garantisca che $b_n \to L$ implica $a_n \to L$.
Una idea interessante è quella di uscire fuori dal "mondo" delle successioni e trovare una funzione reale di variabile reale $f$ (che non sia essa stessa una successione... ricordo che le successioni sono funzioni reali di variabile reale(*)) t.c. ad esempio $\lim_{x \to oo} f(x) = L$ e poter garantire che
$\lim_{x \to oo} f(x) = L$ implica $a_n \to L$.
La "strada maestra" per ottenere l'ultima implicazione citata è il teorema di caratterizzazione dei limiti (di una frvr) mediante successioni, che in alcuni dialetti locali viene chiamato "teorema ponte". Noto che ci serve un "implica", quindi ovviamente in realtà ci basta solo "metà" di questo teorema.
Nulla vieta che si possa utilizzare il teorema dell'Hospital per studiare $\lim_{x \to oo} f(x)$, se lecito.
Una strada meno nota può essere basata sul "teorema dell'Hospital per successioni", ovvero il teorema di Stolz-Cesaro:
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3774
- qui la dim:
http://planetmath.org/encyclopedia/Proo ... eorem.html
- qui altro:
http://www.evaristogalois.it/02_MATEMAT ... SSIONI.pdf
(*)Per me una funzione reale di variabile reale [frvr] è $f:A \to RR$, con $A \subseteq RR$. Chiaro quindi che le successioni rientrano in questa def, basta prendere $A = NN$.
"Fioravante Patrone":
[...]
La "strada maestra" per ottenere l'ultima implicazione citata è il teorema di caratterizzazione dei limiti (di una frvr) mediante successioni, che in alcuni dialetti locali viene chiamato "teorema ponte". [...]
Il nome del teorema non è riconosciuto a livello nazionale? Effettivamente cercando su internet non ho trovato molto. Mi chiedo ora in quali regioni di Italia venga chiamato in questo modo...
Scusate l'OT.
"Mathematico":
[quote="Fioravante Patrone"][...]
La "strada maestra" per ottenere l'ultima implicazione citata è il teorema di caratterizzazione dei limiti (di una frvr) mediante successioni, che in alcuni dialetti locali viene chiamato "teorema ponte". [...]
Il nome del teorema non è riconosciuto a livello nazionale? Effettivamente cercando su internet non ho trovato molto. Mi chiedo ora in quali regioni di Italia venga chiamato in questo modo...
Scusate l'OT.[/quote]
Se vuoi saperne di più: https://www.matematicamente.it/forum/limite-t12213.html
"Fioravante Patrone":
Se vuoi saperne di più: https://www.matematicamente.it/forum/limite-t12213.html
Grazie
"Nell'altro topic, Fioravante Patrone":
resta la domanda: perché viene chiamato così?
a cui ne aggiungo un'altra. C'è qualcun altro, fuori dal piccolo borgo romano, che usa questo nome?
Visto che ti ho visto interessato alla questione (come Mathematico), aggiungo che pure a Catania questo teorema è stato chiamato con questo nome.
In effetti la ragione è il collegamento che va a creare tra le successioni e in generale le funzioni reali a variabile reale.
Ma d'altra parte, lo stesso insegnante, presentando il Teorema dei carabinieri, disse che un altro nome era "Teorema Sandwich".
Questo perché le fette di pane devo rimanere vicine, altrimenti la mortadella dentro non va dove vanno loro.
Ricordo una particolare ilarità in quel giorno.
In un post qui sul forum il teorema di caratterizzazione blabla è stato chiamato "teorema di collegamento".
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