Limiti di Successioni

[Mrs92]

Quella che vi propongo di seguito è una lista di successioni di cui bisogna trovare il limite. Non mi serve la risoluzione ma una spiegazione su come procedere. cercherò di essere chiaro nelle varie richieste e in quello che avrei pensato di fare on my own.

1_ $ n * sin(\pi * n) $ [RISOLTO]

2_ $ (2^(n^2) - 2^n) $

3_ $ (log(n+1))/(log(n-1)) $ [RISOLTO]

4_ $ (n!)/((n+1)!) $ [RISOLTO]

5_ $ (e^n)/(n!) $ [RISOLTO]

6_ $ (n^2) * sin(n* \pi /2) $ [RISOLTO]

7_ $ n - n*arctg(n) $ [RISOLTO]

8_ $ arctg((n^2 + 1)/(n - 1)) $ [RISOLTO]

9_ $ n^log(n) - n^2 $ idem...

10_ $ (log(n^3 +1))/(log(2*n^5 - 8)) $ [RISOLTO]

11_ $ n^2 - 2^(-sqrt(n)) $ credo che per risolvere questa si deba usare una formula con l'exp ma non mi viene in mente

Non posso usare per ora... derivate, integrali, taylor e boh...
ma se risulta necessario allora potete suggerirmeli in caso li terrò a mente per quanto li studierò...


Grazie

[Seneca1]

"Mrs92":cercherò di essere chiaro nelle varie richieste e in quello che avrei pensato di fare on my own.

Veramente io vedo qualche abbozzo di idea solo per gli esercizi 3 e 6...

3) no, però puoi considerare che asintoticamente $log(n + 1) sim log(n)$ e $log(n-1) sim log(n)$.

6) anche qui no; prova a considerare qualche sottosuccessione...

[Mrs92]

Non avevo idee risolutive per tutte le successioni.

Quindi per il 3 il limite è uno
Per il 6 mi converrebbe eliminare il pigreco mezzi?

[55sarah]

non hai idee risolutive per tutte le successioni?

Ti dico io un po' di idee per alcuni esercizi

per
esercizio 5 utilizza il criterio del rapporto delle successioni

esercizio 6 dai alcuni valori al seno e vedi che succede! poi dividi in n-pari e n-dispari, se i limiti sono uguali allora esiste il limite, altrimenti non esiste il limite ma esiste la classe limite (la classe limite esiste sempre tienilo in mente)

esercizio 7 tieniti in testa questa uguaglianza $\arctan(n)+\arctan(1/n)=\pi/2$..poi utlizza gli sviluppi di Taylor-McLaurin

esercizio 8 usa gli asintotici!..sì qui possono bastare!..

esercizio 9 prova a giocare con gli esponenziali

esercizio 10 raccogli il termine dominante!

P.S.: non ci credo come hai scritto che non puoi usare Taylor, basta che vai a guardare la tabella degli sviluppi di Taylor alcuni la chiamano gli sviluppi di McLaurin, puoi ultizzarli anche se non hai le derivate nel tuo programma..

[Seneca1]

"55sarah":P.S.: non ci credo come hai scritto che non puoi usare Taylor, basta che vai a guardare la tabella degli sviluppi di Taylor alcuni la chiamano gli sviluppi di McLaurin, puoi ultizzarli anche se non hai le derivate nel tuo programma..

A meno che non siano approssimazioni molto grossolane (del tipo che si ricava da qualche limite notevole) per sviluppare in serie di McLaurin servono le derivate...

[Sk_Anonymous]

"55sarah":[...]
esercizio 7 tieniti in testa questa uguaglianza $\arctan(n)+\arctan(1/n)=\pi/2$..poi utlizza gli sviluppi di Taylor-McLaurin
[...]

Dai, non scherziamo per favore: \[\displaystyle n-n\arctan(n)=n[1-\arctan(n)] \]
e passando al limite non si ha una forma indeterminata.

"Mrs92":[...]
4_ $ (n!)/((n+1)!) $ qui mi servirebbe una bella dimostrazione
[...]

No, non ti serve una dimostrazione, ma solo sapere che \(\displaystyle (n+1)!=(n+1)n! \).

[Mrs92]

Non ho idea di quanto faccia arctgn per n che va all'infinito...

cosa sono gli asintotici?
Come uso il criterio del rapporto?

[55sarah]

"Delirium":[quote="55sarah"][...]
esercizio 7 tieniti in testa questa uguaglianza $\arctan(n)+\arctan(1/n)=\pi/2$..poi utlizza gli sviluppi di Taylor-McLaurin
[...]

Dai, non scherziamo per favore: \[\displaystyle n-n\arctan(n)=n[1-\arctan(n)] \]
e passando al limite non si ha una forma indeterminata.
.[/quote]

ah già cavolo hai ragione, non è un caso di indecisione, penso sempre alle cose più difficili XD

Cmq

"Mrs92":Non ho idea di quanto faccia arctgn per n che va all'infinito...

cosa sono gli asintotici?
Come uso il criterio del rapporto?

L'arcotangente all'infinito ha un asintoto orizzontale che è $\pi/2$, mentre quando va a meno infinito è $-\pi/2$

Il criterio del rapporto è $\lim_{n\rightarrow +\infty}(a_{n+1})/(a_n)={(\alpha>1),(\alpha<1),(\alpha=1):}$, primo caso diverge, secondo caso converge, e terzo caso mi impicco...esiste anche per le successioni, non solo per le serie numeriche.

Comunque ti consiglio di rivedere i tuoi appunti di analisi 1, sicuramente avrete parlato di queste cose, cioè di asintotici e sviluppi di Taylor-McLaurin, al primo ordine almeno.

[Mrs92]

per gli asintotici c'è qualche appunto, mentre per gli sviluppi di taylor credo che li incontrerò più in là.

cmq non saprei a prima vista come dare la gerarchia al numero 5...

[55sarah]

ti dico solamente il pezzo iniziale

uso il criterio del rapporto per l'esercizio 5

$(e^{n+1})/((n+1)!)\cdot (n!)/(e^n)$ per $n\rightarrow +\infty$

adesso da qui sei capace

[Mrs92]

nonono, il criterio del rapporto non è presente nel capitolo delle successioni, mi appresto a farlo studiando le serie ma per ora non ho le basi teoriche per poterlo usare, mi servirebbe ancora qualche aiuto...
Per ovvie ragioni non riesco a fare cose che non ho studiato.

[55sarah]

"Mrs92":nonono, il criterio del rapporto non è presente nel capitolo delle successioni, mi appresto a farlo studiando le serie ma per ora non ho le basi teoriche per poterlo usare, mi servirebbe ancora qualche aiuto...
Per ovvie ragioni non riesco a fare cose che non ho studiato.

Scusa posso chiederti che corso di laurea fai?

Poi comunque il criterio del rapporto per le successione, esiste eccome clicca qui criterio del rapporto per le successioni

Posso pure chiederti su che libro di analisi studi?

[Mrs92]

Si scusami credo di non essermi espresso alla perfezione, intendevo dire che nel mio libro il criterio del rapporto non è presente.

Studio nella facoltà di ingegneria chimica e uso il libro Analisi Matematica (berscht - del passo - giacomelli)

Grazie per l'aiuto che mi stai dando.

[Kashaman]

"Mrs92":Non ho idea di quanto faccia arctgn per n che va all'infinito...

$arctg(n)$ è limitata. Infatti per $n->+\infty => arctg(n) -> \pi/2$
Mentre $n$ no.
per $n->\+infty=>$ $n->+\infty$
il limite del prodotto di due successioni è il prodotto dei limiti.
quindi
$n->\+infty => narctg(n)->\+infty$.

[Mrs92]

grazie, dopo aver visto il grafico di arctg (che non conoscevo!) mi risulta tutto più chiaro.

[Mrs92]

credo di aver risolto il 5:

$ (e^n)/(n!) $ -> $ e^(n + 1)/ ((n + 1)!) * (n!)/(e^n) $ -> $ e/(n + 1) $ = 0

giusto?

=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=_=

forse anche il 2:

$ (2^(n^2) - 2^n) $ -> $ 2^(n^2) * (1 - (2^n)/2^(n^2)) $ -> $ 2^(n^2) * (1 - ((2)/2^n)^n) $

$ ((2)/2^n)^n $ tende a 0

quindi $ 2^(n^2) * (1 - 0) $ ----> +inf

[Mrs92]

UP

[Mrs92]

UP

[lordb]

La 1 la risolvi subito considerando l'esistenza o meno del limite :

$lim_(n->+oo) sin(n)$

[Mrs92]

se non erro seno oscilla tra 1 e -1 quindi per $ n -> oo $ non può superare quei valori.
Quindi converge?

[lordb]

Una successione può convergere,divergere,oscillare.

Dunque se oscilla non può convergere...