Limiti di Successioni

[Mrs92]

Quella che vi propongo di seguito è una lista di successioni di cui bisogna trovare il limite. Non mi serve la risoluzione ma una spiegazione su come procedere. cercherò di essere chiaro nelle varie richieste e in quello che avrei pensato di fare on my own.

1_ $ n * sin(\pi * n) $ [RISOLTO]

2_ $ (2^(n^2) - 2^n) $

3_ $ (log(n+1))/(log(n-1)) $ [RISOLTO]

4_ $ (n!)/((n+1)!) $ [RISOLTO]

5_ $ (e^n)/(n!) $ [RISOLTO]

6_ $ (n^2) * sin(n* \pi /2) $ [RISOLTO]

7_ $ n - n*arctg(n) $ [RISOLTO]

8_ $ arctg((n^2 + 1)/(n - 1)) $ [RISOLTO]

9_ $ n^log(n) - n^2 $ idem...

10_ $ (log(n^3 +1))/(log(2*n^5 - 8)) $ [RISOLTO]

11_ $ n^2 - 2^(-sqrt(n)) $ credo che per risolvere questa si deba usare una formula con l'exp ma non mi viene in mente

Non posso usare per ora... derivate, integrali, taylor e boh...
ma se risulta necessario allora potete suggerirmeli in caso li terrò a mente per quanto li studierò...


Grazie

[Mrs92]

sì, giusto....

a guardarla bene però $ n * sin(\pi * n) $ ci dà valori nulli del seno perchè sono tutti multipli di pigreco quindi dovrebbe fare 0 comunque. o mi sbaglio?

[dissonance]

"Mrs92":sì, giusto....

a guardarla bene però $ n * sin(\pi * n) $ ci dà valori nulli del seno perchè sono tutti multipli di pigreco quindi dovrebbe fare 0 comunque. o mi sbaglio?

giusto. $n\sin(\pi n)=0$ per ogni $n$. E' una domanda trabocchetto

[lordb]

vero! Non stavo pensando che $n in NN$!!

[Mrs92]

immagino che per la 6 vale il discorso dell'osscilazione, quindi nè converge nè diverge.

[aletort1]

Per l'esercizio 2 raccogli \(\displaystyle 2^{n} \), fai il logaritmo poi applica la definizione di successione che tende a più infinito
Trovi la soluzione dell'esercizio 2 a questo url : http://esercizirisolti.altervista.org/esercizi/es7.php (non cliccare su "vedi svolgimento" se non la vuoi vedere la soluzione)
Ciao

[Sk_Anonymous]

"Mrs92":immagino che per la 6 vale il discorso dell'osscilazione, quindi nè converge nè diverge.

Esatto. Per formalizzare i ragionamento potresti provare che limite superiore e limite inferiore non coincidono, oppure trovare due estratte che convergono a due limiti differenti, in violazione del teorema di unicità del limite (che poi è quasi la stessa cosa).

Per esempio, sperando di non aver sbagliato i conticini, \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{2n}=0 \] mentre \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{2n+1}=(-1)^{n} \cdot \infty \]

[Mrs92]

preferisco lo svolgimento che ho postato una pagina fa

$ (2^(n^2) - 2^n) $ -> $ 2^(n^2) * (1 - (2^n)/2^(n^2)) $ -> $ 2^(n^2) * (1 - ((2)/2^n)^n) $

$ ((2)/2^n)^n $ tende a 0

quindi $ 2^(n^2) * (1 - 0) $ ----> +inf

@ Delirium che intendi con "provare che limite superiore e limite inferiore non coincidono"?
Il resto è chiaro.

[Sk_Anonymous]

"Mrs92":[...]
@ Delirium che intendi con "provare che limite superiore e limite inferiore non coincidono"?
Il resto è chiaro.

Ti rimando alla pagina di Wikipedia con la teoria dei limiti superiore ed inferiore.

[Mrs92]

ok. Un'ultima cosetta ti vorrei chiedere.
Come faccio a capire che limite superiore e inferione non coincidono?

[Sk_Anonymous]

"Mrs92":[...]
Come faccio a capire che limite superiore e inferione non coincidono?

Bhé, l'ho mostrato nello spoiler

Nel nostro caso \(\displaystyle \text{lim sup}=+\infty \) mentre \(\displaystyle \text{lim inf}=-\infty \); in generale dovresti seguire in maniera più formale la definizione, mentre io mi sono affidato più all'intuito.

[Mrs92]

ok, grazie.