Limiti di successioni

[Roberto81]

ciao a tutti sto svolgendo un limite ma c'è un passaggio che non riesco a fare.
l'esercizio mi chiede: Utilizzando la definizione di limite, verificare
$ lim_(n -> +oo) n/(2n+5)=1/2 $ esiste.

uso la definizione $ (AA)epsilon > 0,epsilon in RR,(EE)n_epsilon : (AA)n>=n_epsilon => |a_n-l|< epsilon $
ora $ |a_n -l|=|n/(2n+5)-1/2|=|(2n-(2n+5))/(2(2n+5))|=|(2n-2n-5)/(2(2n+5))|=|(-5)/(4n+10)|= 5/(4n+10) $
quindi considero la disugualianza: $ 5/(4n+10)< epsilon$ risolvendola per n ma qui mi inceppo... come devo fare?

[_prime_number]

Metti in funzione di $n$, ovvero:
moltiplichi da entrambe le parti per la quantità positiva $4n+10$: $4n\epsilon +10\epsilon>5\to n> (5-10\epsilon)/(4\epsilon)$,
dunque $n_\epsilon =(5-10\epsilon)/(4\epsilon)$.

Paola

[Roberto81]

grazie mille dalla risposta....!!!

[Roberto81]

scusate mi verificate questo risultato non riesco.
$ lim_(n -> +oo)(n-4)/(3n+1)=1/3 $
$ |(n-4)/(3n+1)-1/3|=|(3n-12-(3n+1))/(3(3n+1))|=|(-13)/(9n+3)| $
$ 13/(9n+3)< epsilon hArr 13 vi sembra corretto?

[_prime_number]

Hai fatto casino alla fine:
Riparto da $9n+3>13/(\epsilon)\to n>1/9 (13/(\epsilon)-3)=:n_\epsilon$.

Paola

[Roberto81]

perdonami ma non capisco la scrittura $13/epsilon ->n$ il libro mi riporta il risultato come: $(13/epsilon-3)/9$

[_prime_number]

E' solo una freccetta per indicare che vado al passaggio successivo. Se ti disturba, immagina che io sia andata a capo.
Il risultato da me è ottenuto è identico a quello del libro.

Paola