Limiti di successioni

[Sk_Anonymous]

Ciao, dovrei dimostrare gli ordini di infinito delle successioni, cioè che $(n^a/a^n)->0$, $(a^n/(n!))->0$, $((n!)/n^n)->0$. Qualcuno sa dirmi come procedere? Grazie mille

P.S: non ho fatto il criterio del rapporto applicato alle successioni.

[Alxxx28]

Hai provato a ragionare in qualche modo?
Ad esempio il criterio della radice potrebbe essere utile, sai di cosa parlo?

[Sk_Anonymous]

Ciao, ho risolto, se non per un punto. Nella dimostrazione di uno di quei limiti, il libro alla fine scrive che la quantità $((1+nh)/sqrt(n))^(2a)>=h^(2a)*n^a$, con $a>0$. Siccome l'ultimo membro tende a più infinito, anche il precedente deve, per il teorema del confronto. Non ho capito perchè è valida quella minorazione. Grazie mille

[salvozungri]

"Soscia":Ciao, ho risolto, se non per un punto. Nella dimostrazione di uno di quei limiti, il libro alla fine scrive che la quantità $((1+nh)/sqrt(n))^(2a)>=h^(2a)*n^a$, con $a>0$. Siccome l'ultimo membro tende a più infinito, anche il precedente deve, per il teorema del confronto. Non ho capito perchè è valida quella minorazione. Grazie mille

Mah, a me sembra la disuguaglianza di Bernoulli, ma non ci metterei la mano sul fuoco. , poi non capisco a quale dei tre limiti ti riferisci.. sarà che sono cotto dal sonno

[Sk_Anonymous]

è la dimostrazione di un particolare rapporto di limiti

[dissonance]

Chi è $h$? Comunque quella non può essere la disuguaglianza di Bernoulli perché quest'ultima riguarda esponenti naturali e qui c'è una potenza con esponente reale. Vi devo confessare che così su due piedi non capisco da dove esce...

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Chi è $h$? Comunque quella non può essere la disuguaglianza di Bernoulli perché quest'ultima riguarda esponenti naturali e qui c'è una potenza con esponente reale. Vi devo confessare che così su due piedi non capisco da dove esce...

Allora, devo dimostrare che, per $n->+oo$, $(A^n/n^a)->+oo$. Alla fine della dimostrazione il libro scrive $((1+nh)/sqrt(n))^(2a)>=h^(2a)*n^a$. Quello che non ho capito è perchè il primo membro si può minorare con il secondo.
$h$ è una quantità $>0$.

[dissonance]

Ah allora ho capito. Siccome $a>0$, anche $2a>0$ e la funzione potenza è crescente; quindi

$x >y(>0) => x^(2a) >= y^(2a)$ (e in realtà vale pure col maggiore stretto, ma non ci serve).

Poi siccome anche $n>0$ abbiamo che

$1/(sqrt(n)) + sqrt(n)h >= sqrt(n)h$.

Allora

$(1/(sqrt(n)) + sqrt(n)h)^(2a)>=n^ah^(2a)$

che è la disuguaglianza cercata.

[Sk_Anonymous]

ok, ottimo, grazie

[salvozungri]

Chiedo scusa a Soscia, non era mia intenzione dare un suggerimento errato

"dissonance": [...]perché quest'ultima riguarda esponenti naturali e qui c'è una potenza con esponente reale.

Io mi ricordo che la disuguaglianza di Bernoulli può essere generalizzata ad esponenti reali, forse ricordo male .

[Edit]: Googlando un po' ho trovato questo