Limiti di successioni

[athepilot]

Ciao a tutti, qualcuno sa come si risolvono questi due semplici limiti?

$\lim_{n \to \infty}root(n)(n^4+3)$

e

$\lim_{n \to \infty}root(n)(3^n+n^3)$

grazie

[Steven11]

[mod="Steven"]Benvenut* nel forum

Volevo incoraggiarti a inserire, per il futuro, oltre al testo dell'esercizio, anche un'esposizione migliore dei dubbi, cioè dire dove sei arrivato/a, dove ci si blocca etc.
Infatti il forum non è concepito come risolutore di esercizi online.
[/mod]

Detto ciò, ti chiedo: conosci il risultato
$lim_(nto+infty)root(n)(n)=1$
E' quello che ti consente di risolvere il primo limite.

Per il secondo, mi sento di dirti che $3^n$ è un infinito più forte di $n^3$.

Ci siamo?
Ciao.

[athepilot]

io ho provato a fare con il criterio del rapporto e diventa

$\lim_{n \to \infty}((n+1)^4+3)/(n^4+3)$

è corretto procedere così?

Poi risolvo $(n+1)^4$ e raccogliendo $n^4$ si semplifica con quello al denominatore e mi viene che il limite tende a 1.

Ho fatto giusto?

[salvozungri]

Attento, il criterio del rapporto viene utilizzato per capire se una serie è convergente oppure no. Segui i consigli di Steven

[cirasa]

"Mathematico":Attento, il criterio del rapporto viene utilizzato per capire se una serie è convergente oppure no. Segui i consigli di Steven

Se la mia memoria di analisi 1 non mi tradisce, esiste anche un criterio del rapporto per capire se una successione converge o meno, e non solo per la convergenza di una serie.
Il risultato è il seguente:
$(a_n)$ successione a termini strettamente positivi (non mi ricordo se sia indispensabile che $a_n>0$ definitivamente). Supponiamo che esista $b=\lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in RR$.
Se $b>1$ allora $a_n\to+\infty$.
Se $b<1$ allora $a_n\to 0$.

Forse "athepilot" si riferiva a questo criterio. La sfortuna è che in questo caso non può essere utilizzato perchè $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to 1$ e quindi non si può dire niente.

[salvozungri]

@Cirasa.
Sì hai ragione , grazie l'avevo proprio rimosso. Ad ogni modo è un metodo utile per mostrare che la successione o converge a zero oppure ad infinito, ma in questo caso mi pare sia inconcludente

Chiedo scusa a athepilot per le mie conclusioni affrettate.

[athepilot]

ho provato a seguire questo procedimento

$\lim_{n \to \infty}root(n)((n^4)(1+(3/n^4))$=$\lim_{n \to \infty}root(n)(n^4)$*$\lim_{n \to \infty}root(n)((1+(3/n^4))$

il primo tende a 1 per $\lim_{n \to \infty}root(n)(n)$ e il secondo tende a 1 perche $3/n^4$ tende a 0, quindi $->$ $1$

E' corretto?

[Gatto891]

Si è giusto, ti suggerisco un altro metodo utile in generale se hai a che fare con le potenze:

$\lim_{n \to \infty}root(n)(n^4+3) = \lim_{n \to \infty}(n^4+3)^(1/n) = \lim_{n \to \infty}exp(log(n^4+3)^(1/n)) = \lim_{n \to \infty}exp(1/nlog(n^4+3)) = e^0 = 1$