Limiti di successioni

[angus89]

allora...mi stanno facendo impazzire questi limiti
$\lim_{n \to \infty} (1+root(2)(2)+root(3)(3)+...+root(n)(n))/n$
$\lim_{n \to \infty} root(n)((n(n+1)...(2n)))/n$
Il primo si vede ad occhio che è $1$
Il secondo sbirciando dalle soluzioni si vede che ha a che fare con $e$

Io ho provato a raggionarci parecchio, tipo, qualora non lo si vedesse ad occhio ho trovato per induzione che il numeratore del primo limite è maggiore del denominatore, ma sempre ad occhio si trova che mandando avanti il limite il tutto tende ad uno...
Sul secondo limite non mi esprimo...nonostante i numerosi tentativi

[maurer]

Per il secondo limite... Mi scoccia un po' postarti questa soluzione, perché non la ritengo per nulla intuitiva... L'idea che ho avuto è di utilizzare la formula di Stirling per il calcolo del fattoriale... Tuttavia, a me non è stata insegnata durante il corso di Analisi 1, quindi (se questo è un esercizio pro Analisi 1) non mi stupirei che esista una soluzione più semplice...
Ti posto la formula di Stirling: $n! sim_(+\infty) n^n*e^(-n)sqrt(2\pi n)$.
La formula va applicata nel modo seguente: il prodotto $n(n+1)...(2n)$ può essere pensato come $((2n)!)/((n-1)!)$. Applicando l'approssimazione di Stirling, dovresti arrivare al risultato $4/e$, ammesso che non abbia sbagliato i conti...
Se poi hai difficoltà, posta pure che per quanto potrò, proverò ad aiutarti...