Limiti di successioni

[dewdeedewd3]

Salve a tutti, volevo sapere se questa metodologia per risolvere il seguente limite sia giusta:

$ $ $ lim_(n-> +infty) ((5^n+sin(n))/(3^n-2^n)) $ $ $

Io qui ho osservato che il $ lim_(n-> +infty) sin(n) $ è oscillante tra -1 ed 1, quindi ho sostituito nel limite di partenza:

$ lim_(n-> +infty) ((5^n+1)/(3^n-2^n)) $ ed $ lim_(n-> +infty) ((5^n-1)/(3^n-2^n)) $

Trovando che in entrambi i casi quest'ultimo va a $ +infty $ .

È giusto ragionare così?
Inoltre è possibile ragionare in maniera analoga (quindi con il confronto tra infiniti di ordine crescente) il seguente limite:

$ lim_(n-> +infty) ((n^2+log(n)+n!)/(3n+n^n+2n)) $

Concludendo che:

$ lim_(n-> +infty) ((n^2+log(n)+n!)/(3n+n^n+2n)) = 0$

[pilloeffe]

Ciao luca97__ ,

Per il primo limite più semplicemente basta raccogliere le potenze più grandi a numeratore e a denominatore:

$\lim_{n \to +\infty} (5^n+sin(n))/(3^n-2^n) = \lim_{n \to +\infty} (5/3)^n (1+sin(n)/5^n)/(1 - (2/3)^n) = +\infty $

dato che $5/3 > 1 $ mentre $2/3 < 1 $.
Per il secondo la conclusione è corretta: a numeratore si trascura tutto tranne $n! $, a denominatore tutto tranne $n^n$.

[dewdeedewd3]

Perfetto grazie mille! Ma sarebbe stato un errore ragionare come ho scritto nel primo limite?

[pilloeffe]

"luca97__":Perfetto grazie mille!

Prego!

"luca97__":Ma sarebbe stato un errore ragionare come ho scritto nel primo limite?

Diciamo che in realtà a rigore qui

"luca97__":

$\lim_(n-> +infty) ((5^n+1)/(3^n-2^n)) $ ed $\lim_(n-> +infty) ((5^n-1)/(3^n-2^n)) $

sono ancora presenti forme di indeterminazione del tipo $(+\infty)/(+\infty - \infty) $, per cui più correttamente avrei scritto la catena di disuguaglianze seguente:

$+ \infty = \lim_{n \to +\infty} (5/3)^n (1-1/5^n)/(1-(2/3)^n) = \lim_{n \to +\infty} (5^n-1)/(3^n-2^n) \le \lim_{n \to +\infty} (5^n+sin(n))/(3^n-2^n) \le \lim_{n \to +\infty} (5^n+1)/(3^n-2^n) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} (5/3)^n (1+1/5^n)/(1-(2/3)^n) = +\infty $