Limiti di successioni

[achilles66]

Salve,
vorrei capire come risolvere i seguenti limiti di successioni trovati sul De marco. Non capisco perché ci sono i puntini.
Ecco i limiti
lim(n→∞)[1/(n+1)^2 + …+1/(2n)^2]
lim(n→∞)[1/√((n+1))+ …+1/√2n] questo ha la radice quadrata.
Scusate ma devo imparare ascrivere le formule.

Grazie

[Noisemaker]

Se i limiti sono questi, devi applicare il criterio del confronto ((o dei carabinieri))
\begin{align}
&\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(2n)^2}
\end{align}

Anzitutto osserviamo che:
\begin{align*} \lim_{n\to+\infty} \ \frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+ \cdots+\frac{1}{(n+ n)^2}=\lim_{n \to+\infty}\ \sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2};
\end{align*}
osserviamo inoltre che:
$$\frac{1}{(n+n)^2}+\frac{1}{(n+n)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\le \ \sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2} \ \le\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{1}{n^2},$$
infatti ogni elemento della successione di sinistra è piu piccolo del corrispondente elemento della successione centrale :
$$\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+1)^2};\quad\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+2)^2};\quad \frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+3)^2};\quad \cdots;$$
analogamente, ogni elemento della successione centrale è più piccolo dei ogni corrispondente elemento della successione di destra:
$$\frac{1}{(n+1)^2}\le\frac{1}{n^2};\quad \frac{1}{(n+2)^2}\le\frac{1}{n^2};\quad \frac{1}{(n+3)^2}\le\frac{1}{n^2};\quad\cdots;$$
abbiamo trovato tre successioni, $a_n$, $b_n$, $c_n$, legate dalla relazione: $a_n\le b_n\le c_n;$ a questo punto parte delle ipotesi del teorema dei carabinieri è verificata ($a_n\le b_n\le c_n$); ora, se il limite di $a_n=c_n$ possiamo concludere che anche il limite di $b_n$ sarà uguale a limite di $a_n=c_n;$ in effetti
$$\lim_{n \to+\infty} \frac{n}{(n+n)^2}\sim\lim_{n \to+\infty} \frac{n}{4n^2}= 0 \qquad \text{e}\qquad \lim_{n \to+\infty} \frac{n}{n^2}=\lim_{n \to+\infty} \frac{1}{n}=0;$$
per confronto, possiamo concludere che il limite dato vale $0.$

\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n}}.
\end{align}

Essendo
$$ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+\frac{1}{\sqrt{n+3}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n+n}}=\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}};$$
osserviamo inoltre che:
$$\frac{1}{\sqrt{n+n}}+\frac{1}{\sqrt{n+n}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n+n}} \le \ \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}}\ \le \ \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+ \cdots+\frac{1}{\sqrt{n}};$$
infatti ogni elemento della successione di sinistra è piu piccolo del corrispondente elemento della successione centrale :
$$\frac{1}{\sqrt{n+n}}\le \ \frac{1}{\sqrt{n+1}};\quad\frac{1}{\sqrt{n+n}}\le \ \frac{1}{\sqrt{n+2}};\quad\frac{1}{\sqrt{n+n}}\le \ \frac{1}{\sqrt{n+3}};\quad \cdots;$$
analogamente, ogni elemento della successione centrale è più piccolo dei ogni corrispondente elemento della successione di destra:
$$\frac{1}{\sqrt{n+1}} \le \frac{1}{\sqrt{n}};\quad\frac{1}{\sqrt{n+2}}\le\frac{1}{\sqrt{n}};\quad\frac{1}{\sqrt{n+3}}\le\frac{1}{\sqrt{n}};\quad \cdots;$$
passando ai limiti otteniamo:
\begin{align}
&\lim_{n \to+\infty} \ \frac{n}{\sqrt{n+n}}=\lim_{n \to+\infty}\frac{n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n \to+\infty}\frac{n\sqrt{2n}}{2n}=+\infty\\
& \lim_{n \to+\infty} \ \frac{n}{\sqrt{n}}=\lim_{n \to+\infty} \ \frac{n\sqrt{n}}{n}=+\infty
\end{align}
possiamo concludere, per confronto, che il limite vale $+\infty.$

[achilles66]

Grazie per la soluzione. Eccellente. Sei stato chiarissimo!!