Limiti di Successioni
Non riesco a svolgere in seguente limite:
$lim_{n \to \infty}(tg^2(1/n))/(1-cos(1/n))$
Come prima cosa trasformo $tg^2(1/n)=(sin^2(1/n))/(cos^2(1/n))$.
Quindi mi trovo ad avere: $(sin^2(1/n))/(cos^2(1/n))*1/(1-cos(1/n))$
Ho pensato di svolgerla dividendo e moltiplicando per $1/n^2$.
Mi trovo: $(sin^2(1/n))/(1/n^2)*(1/n^2)/(cos^2(1/n))*1/(1-cos(1/n))$
La prima $\to 1$. Oltre a questo non mi viene nient'altro in mente su come procedere. Il risultato dovrebbe venirmi $2$, ma provando vari modi o mi viene $\infty$ oppure non è possibile(Perché quel $1-cos(1/n)$ verrebbe $0$ per $n \to \infty$, ed essendo a denominatore verrebbe impossibile). Mi sfugge qualcosa? C'è qualche semplificazione che posso fare?
$lim_{n \to \infty}(tg^2(1/n))/(1-cos(1/n))$
Come prima cosa trasformo $tg^2(1/n)=(sin^2(1/n))/(cos^2(1/n))$.
Quindi mi trovo ad avere: $(sin^2(1/n))/(cos^2(1/n))*1/(1-cos(1/n))$
Ho pensato di svolgerla dividendo e moltiplicando per $1/n^2$.
Mi trovo: $(sin^2(1/n))/(1/n^2)*(1/n^2)/(cos^2(1/n))*1/(1-cos(1/n))$
La prima $\to 1$. Oltre a questo non mi viene nient'altro in mente su come procedere. Il risultato dovrebbe venirmi $2$, ma provando vari modi o mi viene $\infty$ oppure non è possibile(Perché quel $1-cos(1/n)$ verrebbe $0$ per $n \to \infty$, ed essendo a denominatore verrebbe impossibile). Mi sfugge qualcosa? C'è qualche semplificazione che posso fare?
Risposte
$\tan^{2}(x)=\frac{sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}=\frac{1-cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}=\frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{\cos^{2}(x)}$
quindi hai che
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\cos(\frac{1}{n})}{\cos^{2}(\frac{1}{n})}=2$$
quindi hai che
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\cos(\frac{1}{n})}{\cos^{2}(\frac{1}{n})}=2$$
Oh! Non avevo pensato a continuare a trasformare la tangente, ero troppo concentrato a togliere il seno in un altro modo. Grazie!
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