Limiti di successione con Taylor
Ciao,
sto riscontrando problemi nello svolgere limiti di successioni ( o di funzioni per x che tende a infinito) con Taylor, cosa che invece mi capita meno nei limiti per x che tende a zero, quindi penso di non avere molto le idee chiare.
Tanto per fare un esempio, se devo risolvere il limite per x che tende a infinito di
$ root(4)(x^4+x^3+1)-x $
così com'è non potrei applicare subito lo sviluppo di Taylor, quindi quello che mi viene in mente di fare è di porre $ 1/x=y $ , quindi per x che tende a infinito ho che y tende a 0; è corretto procedere così?
andando poi a sviluppare utilizzando lo sviluppo centrato in zero di $ (1+y)^alpha=1+alpha*y+o(y) $ avrei
$ 1+1/4*(1/y^4+1/y^3)+o(1/y^4+1/y^3)-1/y $ e non so che farci anche perchè ho molti dubbi che sia esatto, è errato il mio ragionamento?
Grazie in anticipo
sto riscontrando problemi nello svolgere limiti di successioni ( o di funzioni per x che tende a infinito) con Taylor, cosa che invece mi capita meno nei limiti per x che tende a zero, quindi penso di non avere molto le idee chiare.
Tanto per fare un esempio, se devo risolvere il limite per x che tende a infinito di
$ root(4)(x^4+x^3+1)-x $
così com'è non potrei applicare subito lo sviluppo di Taylor, quindi quello che mi viene in mente di fare è di porre $ 1/x=y $ , quindi per x che tende a infinito ho che y tende a 0; è corretto procedere così?
andando poi a sviluppare utilizzando lo sviluppo centrato in zero di $ (1+y)^alpha=1+alpha*y+o(y) $ avrei
$ 1+1/4*(1/y^4+1/y^3)+o(1/y^4+1/y^3)-1/y $ e non so che farci anche perchè ho molti dubbi che sia esatto, è errato il mio ragionamento?
Grazie in anticipo
Risposte
Non è necessario un cambiamento di variabili:
$root(4)(x^4+x^3+1)-x=root(4)(x^4(1+1/x+1/x^4))-x=|x|root(4)(1+1/x+1/x^4)-x$
Ora puoi utilizzare lo sviluppo considerando $y$ un "segnaposto" e sostituendo $(1/x+1/x^4)$, proprio perchè $(1/x+1/x^4)to0$ quando $xtooo$.
$root(4)(x^4+x^3+1)-x=root(4)(x^4(1+1/x+1/x^4))-x=|x|root(4)(1+1/x+1/x^4)-x$
Ora puoi utilizzare lo sviluppo considerando $y$ un "segnaposto" e sostituendo $(1/x+1/x^4)$, proprio perchè $(1/x+1/x^4)to0$ quando $xtooo$.
Ecco allora evidentemente non mi è molto chiaro in quali casi è opportuno un cambiamento di variabile!
In alcuni casi, un "esplicito" cambiamento di variabile può essere vantaggioso. Anche in questo caso avresti potuto farlo, questione di gusti, io preferisco il procedimento che ti ho indicato.
facendo un altro esempio: se ho limite che tende a infinito di
$ ((sin(1/e^x)-1/e^x)*((1+x^4*1/e^x)^pi-1))/((n^4*1/e^(4*x)+x^7*1/e^(5*x)-1/e^(x^4))*root(x)(x^4)) $
in questo caso mi sembrerebbe il caso di operare un cambio di variabile, o c'è un'altra strada?
$ ((sin(1/e^x)-1/e^x)*((1+x^4*1/e^x)^pi-1))/((n^4*1/e^(4*x)+x^7*1/e^(5*x)-1/e^(x^4))*root(x)(x^4)) $
in questo caso mi sembrerebbe il caso di operare un cambio di variabile, o c'è un'altra strada?
Immagino che $xto+oo$ e che $a>1$.
si scusami non l'ho scritto
Non mi sembra di vederne la necessità, devi concentrarti sui singoli fattori. Per esempio:
$sin(1/a^x)-1/a^x~~-1/(6a^(3x))$
in quanto $1/a^xto0$ quando $xto+oo$.
$sin(1/a^x)-1/a^x~~-1/(6a^(3x))$
in quanto $1/a^xto0$ quando $xto+oo$.
ok va meglio ora!
Grazie mille!
Grazie mille!