Limiti di successione con parametro
il limite in questione è
$\lim_(n->+infty) (a^n(-1)^n)/((n^2+1)sin(1/n^2))$ svolgendo il limite esce $(a^n(-1)^n)/1$
adesso devo dire per quali valori di $a$ il limite non esiste e finito o infinito
ricordando la successione geometrica $\lim_(n->+infty) a^n=\{(a^n>1 ->+infty),(|a^n|<=1-> 0),(a^n=1->1),(a<=-1 ->nonEE):}$
quindi se non mi sbaglio queste a termini alterni si studiano per esponenti pari e dispari e se coincidono allora il limite esiste se non coincidono il limite non esiste
la soluzione del esercizio dice però che il limite è indeterminato per $|a|>=1$ infatti per indici pari e $+infty$ e per indici dispari è $-infty$ mentre per $|a|<1$ il limite è zero perche ??? non uscirebbe una forma indeterminata $0*+infty$ e $0*-infty$ ???
$\lim_(n->+infty) (a^n(-1)^n)/((n^2+1)sin(1/n^2))$ svolgendo il limite esce $(a^n(-1)^n)/1$
adesso devo dire per quali valori di $a$ il limite non esiste e finito o infinito
ricordando la successione geometrica $\lim_(n->+infty) a^n=\{(a^n>1 ->+infty),(|a^n|<=1-> 0),(a^n=1->1),(a<=-1 ->nonEE):}$
quindi se non mi sbaglio queste a termini alterni si studiano per esponenti pari e dispari e se coincidono allora il limite esiste se non coincidono il limite non esiste
la soluzione del esercizio dice però che il limite è indeterminato per $|a|>=1$ infatti per indici pari e $+infty$ e per indici dispari è $-infty$ mentre per $|a|<1$ il limite è zero perche ??? non uscirebbe una forma indeterminata $0*+infty$ e $0*-infty$ ???
Risposte
Per prima cosa, quella "tabella" non si può guardare: il modo corretto per esprimere quel limite notevole è
$$\lim_{n\to+\infty} a^n=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & a>1\\ 1 & & a=1\\ 0 & & |a|<1\\ \nexists & &a\ge -1
\end{array}\right.$$
Osserva invece che il limite di $(-1)^n$, sebbene non esista, è un valore limitato uguale a $\pm 1$ a seconda dell'esponente. Dalla tabella scritta segue che
$$\lim_{n\to+\infty} a^n(-1)^n=\left\{\begin{array}{lcl}
\nexists & & a>1\textrm{ perché infinito per una cosa oscillante}\\ \nexists & & a=1\textrm{ perché resta solo la successione oscillante}\\ 0 & & |a|<1\textrm{ perché infinitesimo per una cosa limitata}\\ 1 & & a=-1\textrm{ perché uguale a } (-1)^{2n}=1\\ +\infty & & a<-1\textrm{ perché uguale a } (-a)^n>1
\end{array}\right.$$
$$\lim_{n\to+\infty} a^n=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & a>1\\ 1 & & a=1\\ 0 & & |a|<1\\ \nexists & &a\ge -1
\end{array}\right.$$
Osserva invece che il limite di $(-1)^n$, sebbene non esista, è un valore limitato uguale a $\pm 1$ a seconda dell'esponente. Dalla tabella scritta segue che
$$\lim_{n\to+\infty} a^n(-1)^n=\left\{\begin{array}{lcl}
\nexists & & a>1\textrm{ perché infinito per una cosa oscillante}\\ \nexists & & a=1\textrm{ perché resta solo la successione oscillante}\\ 0 & & |a|<1\textrm{ perché infinitesimo per una cosa limitata}\\ 1 & & a=-1\textrm{ perché uguale a } (-1)^{2n}=1\\ +\infty & & a<-1\textrm{ perché uguale a } (-a)^n>1
\end{array}\right.$$
giusto.. grazie della spiegazione
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