Limiti di successione

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi non riesco a svolgere questo limite di successione e poi non riesco a capire perche debba fare $5/6$

$\lim_(n->infty) root(n)((4^n+5^n)/(6^n))$

[axpgn]

Presumo che sia così ...

$\lim_(n->infty) root(n)((4^n+5^n)/(6^n))=\lim_(n->infty) root(n)(4^n/6^n+5^n/6^n)=\lim_(n->infty) root(n)((4/6)^n+(5/6)^n)$

e dato che $(4/6)^n+(5/6)^n~(5/6)^n$ allora $\lim_(n->infty) root(n)((5/6)^n)= 5/6$

[alessandro.roma.1654]

perche quella somma è asintotica a $(5/6)^n$?? cioe qualè il teorema o la proprietà che mi permette di fare quella cosa ??

io nel frattempo ho cercato di risolverlo percorrendo in base hai miei dubbi due strade:

$\lim_(n->infty) 4(1+(5/4)^n)^(1/n)/6 =4/6 \lim_(n->infty) 1^(1/n)+5/4+(5/4)^(n)/n = 4/6(1+5/4+0)=3/2 $

invece se raccolgo il 5

$ \lim_(n->infty) 5(1+(4/5)^n)^(1/n)/6 =5/6 $

perche applicando la successione geometrica $\lim_(n->infty)(4/5)^n=0$ quindi $\lim_(n->infty)(1+0)^(1/n)=1$

[axpgn]

Perché essendo $4/6<5/6$, il primo addendo va a zero più velocemente ...

Oppure fai il limite di questo ... $(4/6)^n/(5/6)^n=((4/6)/(5/6))^n=(4/6*6/5)^n=(4/5)^n=...$