Limiti di infiniti infinitesimi
Salve, dovendo calcolare un limite (banale per la verità) mi son trovato un pò spiazzato.
Non vorrei che ciò capitasse più (soprattutto in sede di esame!) perciò mi tolgo il dente e vi pongo una volta per tutte questa domanda:
perchè $ lim_(x -> -oo) xe^-x $ fa $0$ ?
infatti, verrebbe da dire:
$ x->-oo $
$ e^-x -> +oo $
Senza dover ricorrere ad astrazioni particolari c'è un modo con cui posso dire certamente che quel limite fa $0$, magari giocando sulla rapidità con cui una funzione tende a $+oo$ piuttosto che a $-oo$?
In parole spicciole, esiste una "classifica" dalla quale dedurre il grado di infinito o infinitesimo di una funzione e quindi calcolarne il limite?
Non vorrei che ciò capitasse più (soprattutto in sede di esame!) perciò mi tolgo il dente e vi pongo una volta per tutte questa domanda:
perchè $ lim_(x -> -oo) xe^-x $ fa $0$ ?
infatti, verrebbe da dire:
$ x->-oo $
$ e^-x -> +oo $
Senza dover ricorrere ad astrazioni particolari c'è un modo con cui posso dire certamente che quel limite fa $0$, magari giocando sulla rapidità con cui una funzione tende a $+oo$ piuttosto che a $-oo$?
In parole spicciole, esiste una "classifica" dalla quale dedurre il grado di infinito o infinitesimo di una funzione e quindi calcolarne il limite?
Risposte
$\lim_{x\to-\infty} e^{-x}=+\infty$
"Dino 92":
$ x->-oo $
$ e^-x -> 0 $
Sicuro?
sì, sicurissimo del fatto che ho sbagliato a scrivere 
correggo subito.. Comunque il senso della domanda non cambia..
correggo subito.. Comunque il senso della domanda non cambia..
E allora te la faccio io una domanda: quanto fa $-\infty\cdot(+\infty)$? (E se questa la vedono i miei studenti mi scannano, visto quanto li stresso a non scrivere cose in questo modo!)
Professore, non si diverta a torturarmi Scherzi a parte, in questi casi ho sempre risolto guardando la "rapidità" (mi passi il termine) con cui le funzioni tendono al limite in questione.
le faccio un esempio, giusto per chiarire cosa intendo:
$ lim_(x -> 0) x^2/sinx = 0 $
perchè $x^2$ tende più velocemente a $0$ rispetto a $sin x$ e quindi nel calcolo del limite prevale.
Non so se son riuscito a trasmetterle il mio ragionamento.
Ecco questo stesso ragionamento vorrei applicarlo molto più in generale, anche per funzioni più complesse (i miei prof infatti spesso quando hanno da calcolare forme indeterminate, spesso se ne escono elegantemente con affermazioni del tipo "questa funzione prevale su quest'altra e dunque il limite va ad infinito" (oppure a zero a seconda dei casi) ). Come fanno a dirlo? ad esempio, come lo si può dire nel caso del limite $ lim_(x -> -oo) xe^-x$ ?
Scherzi a parte, in questi casi ho sempre risolto guardando la "rapidità" (mi passi il termine) con cui le funzioni tendono al limite in questione.le faccio un esempio, giusto per chiarire cosa intendo:
$ lim_(x -> 0) x^2/sinx = 0 $
perchè $x^2$ tende più velocemente a $0$ rispetto a $sin x$ e quindi nel calcolo del limite prevale.
Non so se son riuscito a trasmetterle il mio ragionamento.
Ecco questo stesso ragionamento vorrei applicarlo molto più in generale, anche per funzioni più complesse (i miei prof infatti spesso quando hanno da calcolare forme indeterminate, spesso se ne escono elegantemente con affermazioni del tipo "questa funzione prevale su quest'altra e dunque il limite va ad infinito" (oppure a zero a seconda dei casi) ). Come fanno a dirlo? ad esempio, come lo si può dire nel caso del limite $ lim_(x -> -oo) xe^-x$ ?
Si può scrivere $ lim_(x -> -oo )xe^-x = lim_(x -> -oo )(e^-x)/(1/x) $ , va in genere scritto come rapporto.
Sì che c'è una classifica, dovresti trovarla sul libro di analisi, io ad esempio ho questa, per funzioni che vanno a infinito per x che va a infinito, in ordine di velocità crescente (il logaritmo è il più moscio):
$ (ln(x))^beta , beta > 0 $
$ x^alpha , alpha > 0 $
$ a^x, a> 1 $
$ x^x, x> 0 $ .
Per le successioni, c'è $ n! $ prima di $ n^n $
Sì che c'è una classifica, dovresti trovarla sul libro di analisi, io ad esempio ho questa, per funzioni che vanno a infinito per x che va a infinito, in ordine di velocità crescente (il logaritmo è il più moscio):
$ (ln(x))^beta , beta > 0 $
$ x^alpha , alpha > 0 $
$ a^x, a> 1 $
$ x^x, x> 0 $ .
Per le successioni, c'è $ n! $ prima di $ n^n $
No, però, aspettate un secondo, perché mi sembra che mi pigliate tutti e due per i fondelli. Ma seriamente state dicendo?
$$\lim_{x\to-\infty} x e^{-x}=-\infty\cdot(+\infty)=-\infty$$
P.S.: le altre cose che dite sono giustissime,per carità... però qua stiamo a cercare di ammazzare i colibrì ape con il cannone megafotonico del Gurren Lagan! (cit.)
$$\lim_{x\to-\infty} x e^{-x}=-\infty\cdot(+\infty)=-\infty$$
P.S.: le altre cose che dite sono giustissime,per carità... però qua stiamo a cercare di ammazzare i colibrì ape con il cannone megafotonico del Gurren Lagan! (cit.)
Mai detta una cosa del genere, è una forma indeterminata! Ohibò! Stavo solo suggerendo qualche classifica di infiniti o infinitesimi, e il modo di uscire dalla forma indeterminata, guardando il rapposto tra due infinitesimi. Dov'è il cannone?
Se dico fesserie perdonate, sono secoli che non faccio questi esercizi.
Se dico fesserie perdonate, sono secoli che non faccio questi esercizi.
"Si può scrivere $ lim_(x -> -oo )xe^-x = lim_(x -> -oo )(e^-x)/(1/x) $ "
Volevo dire, a Dino, se lo scrivi così vedi che va a zero perché l' infinitesimo al numeratore, $ e^-x $ , è di ordine superiore all'infinitesimo che sta al denominatore, 1/x, cioè, detto alla buona va a zero più velocemente (le classifiche che usano i tuoi prof)
Volevo dire, a Dino, se lo scrivi così vedi che va a zero perché l' infinitesimo al numeratore, $ e^-x $ , è di ordine superiore all'infinitesimo che sta al denominatore, 1/x, cioè, detto alla buona va a zero più velocemente (le classifiche che usano i tuoi prof)
"ciampax":
\[ \lim_{x\to-\infty} x e^{-x}=-\infty\cdot(+\infty)=-\infty \]
Non ho mai visto una cosa simile!!
Il prodotto di due infiniti fa infinito. Dino, devi riguardartele ste cose, però. Sono le basi.
E qui c'è il grafico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 28-x%29%29
Come vedi a $-\infty$ la funzione ha limite $-\infty$. Il limite vale zero per $x\to+\infty$: non è che era questo che volevi chiedere? Perché ti faccio presente che hai scritto $x\to-\infty$.
E qui c'è il grafico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 28-x%29%29
Come vedi a $-\infty$ la funzione ha limite $-\infty$. Il limite vale zero per $x\to+\infty$: non è che era questo che volevi chiedere? Perché ti faccio presente che hai scritto $x\to-\infty$.
Comunque ragazzi la regola + per - fa - vale anche con il simbolo di infinito
Ma che siamo impazziti? +infinito per -infinito è una forma indeterminata! Non vale il +per -fa -!
non sono daccordo, la somma di infiniti con segno diverso è una forma indeterminata, la moltiplicazione di infiniti di segno diverso non è una forma indeterminata
Ragazzi la mia domanda era: c'è un modo per risolvere tale tipo di limiti facendo ricorso alla velocità con cui vanno a infinito o a 0? Questo perchè, lo ripeto, i miei prof se ne escono con discorsi simili senza inasprirsi con calcoli vari.
Non è, in questo caso, il calcolo del limite in sè a preoccuparmi (e mi rendo conto che invece dovrebbe! ahah mi eserciterò nuovamente)
p.s.: ho modificato il mio ultimo messaggio, porgo le mie scuse a ciampax
Non è, in questo caso, il calcolo del limite in sè a preoccuparmi (e mi rendo conto che invece dovrebbe! ahah mi eserciterò nuovamente)
p.s.: ho modificato il mio ultimo messaggio, porgo le mie scuse a ciampax
Scusate, mi sono confusa, volevo dire che il limite di Dino è una forma indeterminata perché è $ oo .0 $ .
Per Dino:
bisogna, per vedere la velocità di infiniti/infinitesimi, scrivere i limiti come rapporti, nel tuo caso:
$ lim_(x -> +oo ) xe^-x = lim_(x -> +oo ) x/e^x $
Va a zero perché $ e^x $ va a infinito più velocemente di x. Ti avevo mandato una piccola classifica in cui rientra questo caso.
Per Dino:
bisogna, per vedere la velocità di infiniti/infinitesimi, scrivere i limiti come rapporti, nel tuo caso:
$ lim_(x -> +oo ) xe^-x = lim_(x -> +oo ) x/e^x $
Va a zero perché $ e^x $ va a infinito più velocemente di x. Ti avevo mandato una piccola classifica in cui rientra questo caso.
Sì, grazie. Era quello che volevo..
Prego! Ciao!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo