Limiti di funzioni trigonometriche
Salve, a tutti. Per la preparazione dell' esame di analisi 1 ho iniziato ad esercitarmi sullo svolgimento dei limiti. Ho studiato la teoria a riguardo, quindi strumenti per il calcolo, forme di indeterminazione, limiti notevoli etc...
Tuttavia quando cerco di risolvere gli esercizi che ritengo essere piuttosto semplici, nonostante riesca, ad esempio come nel caso delle f(x) quì sotto, ad individuare la forma di indeterminazione, poi mi blocco e non riesco a proseguire.
$ lim_(x -> +oo) x^2*sin(2/n)*cos(1/n) $
che so essere una forma indeterminata del tipo [$ 0*oo $ ]
oppure
$ lim x->+oo (1+sin(1/x))^x $
che so essere una forma indeterminata del tipo [ $ 1^oo $ ]
Il mio problema credo sia quello di non saper "rimaneggiare" questi limiti per portarli a forme risolvibili.
Dove sbaglio? Quali argomenti mi consigliate di riprendere o rivedere?
Tuttavia quando cerco di risolvere gli esercizi che ritengo essere piuttosto semplici, nonostante riesca, ad esempio come nel caso delle f(x) quì sotto, ad individuare la forma di indeterminazione, poi mi blocco e non riesco a proseguire.
$ lim_(x -> +oo) x^2*sin(2/n)*cos(1/n) $
che so essere una forma indeterminata del tipo [$ 0*oo $ ]
oppure
$ lim x->+oo (1+sin(1/x))^x $
che so essere una forma indeterminata del tipo [ $ 1^oo $ ]
Il mio problema credo sia quello di non saper "rimaneggiare" questi limiti per portarli a forme risolvibili.
Dove sbaglio? Quali argomenti mi consigliate di riprendere o rivedere?
Risposte
Ciao, benvenuta/o sul forum!
Nel primo caso, puoi notare che quando $n \to \infty$ è $\frac{2}{n} \to 0$, per cui puoi moltiplicare e dividere per $\frac{2}{n}$ per ricondurti al limite notevole $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$. Fatto ciò, dovresti riuscire a concludere.
Per il secondo limite, per la forma indeterminata del tipo $[1^\infty]$ è spesso utile ricorrere all'identità $f(x)^{g(x)}=e^{g(x) \log f(x)}$, valida per $f(x)>0$. Così, ci si riconduce al limite notevole $\frac{\log[1+f(x)]}{f(x)} \to 1$ quando $f(x) \to 0$ (come nel tuo caso, visto che $\sin \frac{1}{x} \to 0$ per $x \to \infty$). Tuttavia, non sempre basta: a volte servono gli sviluppi in serie di Taylor. Li hai studiati?
Nel primo caso, puoi notare che quando $n \to \infty$ è $\frac{2}{n} \to 0$, per cui puoi moltiplicare e dividere per $\frac{2}{n}$ per ricondurti al limite notevole $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$. Fatto ciò, dovresti riuscire a concludere.
Per il secondo limite, per la forma indeterminata del tipo $[1^\infty]$ è spesso utile ricorrere all'identità $f(x)^{g(x)}=e^{g(x) \log f(x)}$, valida per $f(x)>0$. Così, ci si riconduce al limite notevole $\frac{\log[1+f(x)]}{f(x)} \to 1$ quando $f(x) \to 0$ (come nel tuo caso, visto che $\sin \frac{1}{x} \to 0$ per $x \to \infty$). Tuttavia, non sempre basta: a volte servono gli sviluppi in serie di Taylor. Li hai studiati?
Ciao Sirna190,
Attenzione perché così come l'hai scritto il limite proposto non esiste, in quanto si ha:
$ \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot sin(2/n) \cdot cos(1/n) = \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot 2 sin(1/n)cos(1/n) \cdot cos(1/n) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot cos^2(1/n) \cdot sin(1/n) $
Ora $cos^2(1/n) $ è sicuramente positivo, ma il segno di $sin(1/n) $ non lo conosciamo, può essere sia positivo che negativo, quindi il limite proposto può risultare sia $+\infty$ che $-\infty $ e pertanto non esiste.
Se invece hai scritto erroneamente una $n$ al posto di una $x$, come mi induce a sospettare la frase
e quindi in realtà il limite proposto è
$ \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot sin(2/x) \cdot cos(1/x) $
allora relativamente a
puoi procedere nel modo seguente:
$ \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot sin(2/x) \cdot cos(1/x) = \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot 2 sin(1/x)cos(1/x) \cdot cos(1/x) = $
$ = 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot sin(1/x)cos^2(1/x) = 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} x \cdot (sin(1/x))/(1/x) \cdot cos^2(1/x) = $
$ = 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} x \cdot \lim_{x \to +\infty}(sin(1/x))/(1/x) \cdot \lim_{x \to +\infty} cos^2(1/x) = 2 \cdot (+\infty) \cdot 1 \cdot 1 = +\infty $
Per quanto riguarda il secondo limite che hai proposto, oltre a quanto ti ha già scritto Mephlip aggiungo che in generale l'idea è quella di ricondursi al limite notevole
$\lim_{t \to +\infty} (1 + 1/t)^t = e $
ovvero più in generale
$ \lim_{f(x) \to +\infty} (1 + 1/(f(x)))^{f(x)} = e $
pertanto sempre relativamente a
puoi procedere nel modo seguente:
$ \lim_{x \to +\infty} (1+sin(1/x))^x = \lim_{x \to +\infty} (1+ 1/(1/sin(1/x)))^x = \lim_{x \to +\infty} [(1+ 1/(1/sin(1/x)))^{1/sin(1/x)}]^{x sin(1/x)} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} [(1+ 1/(1/sin(1/x)))^{1/sin(1/x)}]^{(sin(1/x))/(1/x)} = [e]^1 = e $
"Sirna190":
$ \lim_{x \to +\infty} x^2*sin(2/n)*cos(1/n) $
Attenzione perché così come l'hai scritto il limite proposto non esiste, in quanto si ha:
$ \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot sin(2/n) \cdot cos(1/n) = \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot 2 sin(1/n)cos(1/n) \cdot cos(1/n) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot cos^2(1/n) \cdot sin(1/n) $
Ora $cos^2(1/n) $ è sicuramente positivo, ma il segno di $sin(1/n) $ non lo conosciamo, può essere sia positivo che negativo, quindi il limite proposto può risultare sia $+\infty$ che $-\infty $ e pertanto non esiste.
Se invece hai scritto erroneamente una $n$ al posto di una $x$, come mi induce a sospettare la frase
"Sirna190":
[...] che so essere una forma indeterminata del tipo $[0 \cdot \infty] $
e quindi in realtà il limite proposto è
$ \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot sin(2/x) \cdot cos(1/x) $
allora relativamente a
"Sirna190":
Il mio problema credo sia quello di non saper "rimaneggiare" questi limiti per portarli a forme risolvibili.
puoi procedere nel modo seguente:
$ \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot sin(2/x) \cdot cos(1/x) = \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot 2 sin(1/x)cos(1/x) \cdot cos(1/x) = $
$ = 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot sin(1/x)cos^2(1/x) = 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} x \cdot (sin(1/x))/(1/x) \cdot cos^2(1/x) = $
$ = 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} x \cdot \lim_{x \to +\infty}(sin(1/x))/(1/x) \cdot \lim_{x \to +\infty} cos^2(1/x) = 2 \cdot (+\infty) \cdot 1 \cdot 1 = +\infty $
Per quanto riguarda il secondo limite che hai proposto, oltre a quanto ti ha già scritto Mephlip aggiungo che in generale l'idea è quella di ricondursi al limite notevole
$\lim_{t \to +\infty} (1 + 1/t)^t = e $
ovvero più in generale
$ \lim_{f(x) \to +\infty} (1 + 1/(f(x)))^{f(x)} = e $
pertanto sempre relativamente a
"Sirna190":
Il mio problema credo sia quello di non saper "rimaneggiare" questi limiti per portarli a forme risolvibili.
puoi procedere nel modo seguente:
$ \lim_{x \to +\infty} (1+sin(1/x))^x = \lim_{x \to +\infty} (1+ 1/(1/sin(1/x)))^x = \lim_{x \to +\infty} [(1+ 1/(1/sin(1/x)))^{1/sin(1/x)}]^{x sin(1/x)} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} [(1+ 1/(1/sin(1/x)))^{1/sin(1/x)}]^{(sin(1/x))/(1/x)} = [e]^1 = e $
Ciao ad entrambi, e grazie per il benvenuto! Innanzi tutto vi ringrazio moltissimo per i chiarimenti e per avermi mostrato come potevo svolgere i due limiti. Mi è stato molto utile per capire alcune possibili dinamiche per poter portare i limiti a dei più semplici limiti notevoli.
Per quanto riguarda il limite: si, come hai correttamente supposto tu ho erroneamente inserito una $ n $ al posto di una $ x $ .
Tuttavia ho un paio di dubbi sullo svolgimento del primo limite: non mi è chiaro il motivo per cui $ lim x->+oo $ $ sin(1/x)/(1/x) $ sia uguale ad 1 ed il motivo per cui abbiamo inserito un altro $ cos (1/x) $ per ottenere un $ cos^2 $ (a cosa ci serve?).
Se infatti lo considerassimo come limite notevole io so che il $ lim $ $ sin x/x $ = 1 quando $ x->0 $, mentre se provassi a trovarne il valore io avrei che $ sin (1/x) $ =0 per $ x->0 $ e lo stesso valore avrebbe anche $ 1/x $ (Quindi una sorta di $ 0/0 $ ?
)
Per quanto invece riguarda il secondo limite ho tutto chiaro nel procedimento, e devo dire che non mi sarebbe mai venuto in mente di risolverlo così, ma forse sarà frutto della mia inesperienza. Resta solo la perplessità per l' esponente $ sin(1/x)/(1/x)=1 $ come nel limite di sopra.
Scusatemi per le domande che forse saranno banali ma sono ancora alle prime armi.
"pilloeffe":[/quote]
Se invece hai scritto erroneamente una $n$ al posto di una $x$, come mi induce a sospettare la frase
[quote="Sirna190"][...] che so essere una forma indeterminata del tipo $[0 \cdot \infty] $
Per quanto riguarda il limite: si, come hai correttamente supposto tu ho erroneamente inserito una $ n $ al posto di una $ x $ .
Tuttavia ho un paio di dubbi sullo svolgimento del primo limite: non mi è chiaro il motivo per cui $ lim x->+oo $ $ sin(1/x)/(1/x) $ sia uguale ad 1 ed il motivo per cui abbiamo inserito un altro $ cos (1/x) $ per ottenere un $ cos^2 $ (a cosa ci serve?).
Se infatti lo considerassimo come limite notevole io so che il $ lim $ $ sin x/x $ = 1 quando $ x->0 $, mentre se provassi a trovarne il valore io avrei che $ sin (1/x) $ =0 per $ x->0 $ e lo stesso valore avrebbe anche $ 1/x $ (Quindi una sorta di $ 0/0 $ ?
)Per quanto invece riguarda il secondo limite ho tutto chiaro nel procedimento, e devo dire che non mi sarebbe mai venuto in mente di risolverlo così, ma forse sarà frutto della mia inesperienza. Resta solo la perplessità per l' esponente $ sin(1/x)/(1/x)=1 $ come nel limite di sopra.
Scusatemi per le domande che forse saranno banali ma sono ancora alle prime armi.
Non capisco molto i tuoi dubbi sul limite seguente:
$\lim_{x \to +\infty} sin(1/x)/(1/x) $
Posto $t := 1/x $, per $x \to +\infty $ si ha $t \to 0 $, quindi si ha:
$\lim_{x \to +\infty} sin(1/x)/(1/x) = \lim_{t \to 0} sin(t)/t = 1 $
Per quanto concerne il $ cos(1/x) $, è stata usata per comodità l'identità trigonometrica $sin(2t) = 2 sin(t) cos(t) $, sempre con $t = 1/x $
$\lim_{x \to +\infty} sin(1/x)/(1/x) $
Posto $t := 1/x $, per $x \to +\infty $ si ha $t \to 0 $, quindi si ha:
$\lim_{x \to +\infty} sin(1/x)/(1/x) = \lim_{t \to 0} sin(t)/t = 1 $
Per quanto concerne il $ cos(1/x) $, è stata usata per comodità l'identità trigonometrica $sin(2t) = 2 sin(t) cos(t) $, sempre con $t = 1/x $
"pilloeffe":
Non capisco molto i tuoi dubbi sul limite seguente:
$ \lim_{x \to +\infty} sin(1/x)/(1/x) $
Posto $ t := 1/x $, per $ x \to +\infty $ si ha $ t \to 0 $, quindi si ha:
$ \lim_{x \to +\infty} sin(1/x)/(1/x) = \lim_{t \to 0} sin(t)/t = 1 $
Per quanto concerne il $ cos(1/x) $, è stata usata per comodità l'identità trigonometrica $ sin(2t) = 2 sin(t) cos(t) $, sempre con $ t = 1/x $
Si sul momento non avevo capito, poi però subito dopo riflettendoci ho capito che per sostituzione ci si poteva ricondurre ad un limite notevole, tuttavia la mia risposta era in approvazione da parte dei mod quindi non potevo modificarla!
Per quanto riguarda invece il secondo limite adesso è tutto chiaro.
Grazie mille davvero, questi chiarimenti mi sono stati utilissimi!
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