Limiti di funzioni - Teoria
Vorrei proporre al forum i seguenti problemi sui limiti di funzioni reali di una variabile reale:
1) Esistono limiti non calcolabili con tecniche che prescindono dall'uso di De L'Hospital o di Taylor?
2) Esiste un criterio (anche solo teorico, un po' come quello che predica qualcosa sull'esprimibilità di un integrale in termini di funzioni elementari) che mi indichi quando un limite non è risolubile per "vie elementari" (escludendo De L'Hospital e Taylor) ?
Magari non hanno neanche troppo senso come questioni, ma era una argomento su cui mi interessava discutere e conoscere le opinioni di terzi.
1) Esistono limiti non calcolabili con tecniche che prescindono dall'uso di De L'Hospital o di Taylor?
2) Esiste un criterio (anche solo teorico, un po' come quello che predica qualcosa sull'esprimibilità di un integrale in termini di funzioni elementari) che mi indichi quando un limite non è risolubile per "vie elementari" (escludendo De L'Hospital e Taylor) ?
Magari non hanno neanche troppo senso come questioni, ma era una argomento su cui mi interessava discutere e conoscere le opinioni di terzi.
Risposte
Ecco. Un esempio classico è:
$lim_(x -> 0) (sin(x) - x)/x^3$
$lim_(x -> 0) (sin(x) - x)/x^3$
"Seneca":
Ecco. Un esempio classico è:
$lim_(x -> 0) (sin(x) - x)/x^3$
Interessante questione me lo son chiesto anch'io.Dubito però che ci sia una teoria che possa dare la risposta a quello che chiedi.
Ho sempre il dubbio d'altra parte che, con qualche diabolico artificio a cui non penserei mai, si possa arrivare a una soluzione senza usare nè L'Hospital nè Taylor.
L'unico criterio valido è l'esperienza.
Per quanto riguarda quel limite, come ti ho già detto, bisogna "barare" ma è comunque risolubile con tecniche elementari (una volta che hai già un'idea precisa di quel che vuoi ottenere... ossia se stai "barando", appunto).
Per quanto riguarda quel limite, come ti ho già detto, bisogna "barare" ma è comunque risolubile con tecniche elementari (una volta che hai già un'idea precisa di quel che vuoi ottenere... ossia se stai "barando", appunto).
Ah beh, tu dici che in genere per risolvere un limite devi barare; quindi tanto vale investirsi di falsa fortuna inverosimile e provare a usare tacitamente qualche sviluppo troncato sapendo già dove devo arrivare.
In fondo, non conoscendo Taylor, non è mica giustificata l'uguaglianza $sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$ . Ma tu diresti che la si può verificare manualmente provando che $lim_(x ->0 ) (sin(x))/(x - x^3/6) = 1$ .
Inoltre non vorrei usare un termine della logica di cui non so bene il significato... E' mai possibile che esista qualche limite indecidibile (prima questione che avevo posto) ?
In fondo, non conoscendo Taylor, non è mica giustificata l'uguaglianza $sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$ . Ma tu diresti che la si può verificare manualmente provando che $lim_(x ->0 ) (sin(x))/(x - x^3/6) = 1$ .
Inoltre non vorrei usare un termine della logica di cui non so bene il significato... E' mai possibile che esista qualche limite indecidibile (prima questione che avevo posto) ?
Altro esempio, il seguente:
$lim_(x -> +oo) x * sqrt( atan(x + 1) - atan(x) )$
Svolgimento:
$L^2 = lim_(x -> +oo) x^2 *( atan(x + 1) - atan(x) )$
$L^2 = lim_(x -> +oo)( atan(x + 1) - atan(x) )/(1/x^2)$
...
Sono riuscito a risolvere questo limite utilizzando De L'Hospital.
Avrei potuto cavarmela altrimenti?
$lim_(x -> +oo) x * sqrt( atan(x + 1) - atan(x) )$
Svolgimento:
$L^2 = lim_(x -> +oo) x^2 *( atan(x + 1) - atan(x) )$
$L^2 = lim_(x -> +oo)( atan(x + 1) - atan(x) )/(1/x^2)$
...
Sono riuscito a risolvere questo limite utilizzando De L'Hospital.
Avrei potuto cavarmela altrimenti?
"Seneca":
Ah beh, tu dici che in genere per risolvere un limite devi barare; quindi tanto vale investirsi di falsa fortuna inverosimile e provare a usare tacitamente qualche sviluppo troncato sapendo già dove devo arrivare.
Che tu ci creda o no, questo modo di procedere è molto diffuso.
Uno si fa un'idea e poi cerca di dimostrarla. Non vedo dove sia il problema. Se non avessimo proceduto in questo modo, la Matematica non sarebbe mai nata.
"Seneca":
In fondo, non conoscendo Taylor, non è mica giustificata l'uguaglianza $sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$ . Ma tu diresti che la si può verificare manualmente provando che $lim_(x ->0 ) (sin(x))/(x - x^3/6) = 1$ .
Si può usare il teorema del marchese (visto che lo sviluppo di Taylor non è richiesto per la dimostrazione di tale risultato):
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x-\frac{1}{6}\ x^3} \stackrel{H}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{1-\frac{1}{2}\ x^2} =1$[/tex].
"Seneca":
Inoltre non vorrei usare un termine della logica di cui non so bene il significato... E' mai possibile che esista qualche limite indecidibile (prima questione che avevo posto)?
Specifica cosa vuol dire "indecidibile".
Se vuol dire "di cui non so calcolare il risultato con tecniche standard", sì che ne esistono... Quanto sarebbe triste il mondo matematico se ci fosse un risultato già pronto ed omogeneizzato per qualsiasi cosa.
"gugo82":
[quote="Seneca"]In fondo, non conoscendo Taylor, non è mica giustificata l'uguaglianza $sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$ . Ma tu diresti che la si può verificare manualmente provando che $lim_(x ->0 ) (sin(x))/(x - x^3/6) = 1$ .
Si può usare il teorema del marchese (visto che lo sviluppo di Taylor non è richiesto per la dimostrazione di tale risultato):
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x-\frac{1}{6}\ x^3} \stackrel{H}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{1-\frac{1}{2}\ x^2} =1$[/tex].
"Seneca":
Inoltre non vorrei usare un termine della logica di cui non so bene il significato... E' mai possibile che esista qualche limite indecidibile (prima questione che avevo posto)?
Specifica cosa vuol dire "indecidibile".
Se vuol dire "di cui non so calcolare il risultato con tecniche standard", sì che ne esistono... Quanto sarebbe triste il mondo matematico se ci fosse un risultato già pronto ed omogeneizzato per qualsiasi cosa.[/quote]
Non è di certo una delle mie intenzioni quella di ridurre la matematica a una enigmistica risolubile con tecniche standard.
Tutti i limiti che ho visto fino ad ora, per quanto difficili possano essersi presentati, erano tutti risolubili (cambi di variabile, limiti notevoli, infinitesimi, L'Hospital, Taylor, identità trigonometriche, ecc...). Teoricamente quindi era sempre possibile (magari non facile) trovare la soluzione.
Con un abuso di terminologia per "indecidibile" intendo: "quel limite non si può calcolare; non che non esista, ma la teoria dei limiti non è sufficiente.."
"gugo82":
[quote="Seneca"]Ah beh, tu dici che in genere per risolvere un limite devi barare; quindi tanto vale investirsi di falsa fortuna inverosimile e provare a usare tacitamente qualche sviluppo troncato sapendo già dove devo arrivare.
Che tu ci creda o no, questo modo di procedere è molto diffuso.
Uno si fa un'idea e poi cerca di dimostrarla. Non vedo dove sia il problema. Se non avessimo proceduto in questo modo, la Matematica non sarebbe mai nata.[/quote]
Ma si che ci credo; non mi pare di aver detto che questo modo di procedere mi crei problemi.
Il mio era un discorso puramente teorico. Cercavo di capire i LIMITI delle tecniche che conosco per risolvere i limiti. Cercavo di chiedermi se fossi in grado di risolvere un qualsiasi limite con gli strumenti a disposizione (come fino ad ora mi hanno fatto credere di potere), al di là dell'esperienza. E questo è ben diverso dal cercare di avere sempre il risultato "già pronto ed omogeneizzato per qualsiasi cosa".
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