Limiti di funzioni reali in due variabili
buonasera a tutti
sia data [tex]f: A \rightarrow \mathbb{R}[/tex] con [tex]A \subset \mathbb{R}^2[/tex] , e sia [tex](x_0,y_0)[/tex] punto di accumulazione per [tex]A[/tex]: allora, se esiste, possiamo calcolare il limite per [tex](x,y) \rightarrow (x_0,y_0)[/tex] della funzione: dato che il codominio è T2, allora il limite è unico.
Supponiamo di voler mostrare che [tex]f[/tex] non ammette limite per [tex](x,y) \rightarrow (x_0,y_0)[/tex] : il nostro professore ci ha abituato a farlo vedere in questo modo: basta trovare due funzioni [tex]g(x),h(x)[/tex] tali che, imponendo [tex]y=g(x)[/tex] e successivamente [tex]y=h(x)[/tex] si abbia che, per [tex]x \rightarrow x_0[/tex] le due funzioni [tex]f(x,g(x))[/tex] ed [tex]f(x,h(x))[/tex] tendono a due limiti diversi (oppure almeno uno dei due non esiste). Ora, il mio professore non ha posto limitazioni per quanto riguarda le caratteristiche delle funzioni [tex]g,h[/tex] per cui vorrei farlo io:
1) [tex]g,h[/tex] devono essere tali che [tex](x,g(x)),(x,h(x)) \in A[/tex];
2) [tex]x_0[/tex] sia punto di accumulazione per i domini di queste due funzioni;
3) [tex]$\lim_{x \to x_0}g(x)=\lim_{x \to x_0}h(x)=y_0[/tex].
è giusto? Ci sono da considerare altre condizioni? Ce ne sono troppe?
Se quello che ho scritto è giusto, possiamo sintetizzare il tutto nella seguente proposizione?
PROP: sia [tex]f: A \rightarrow \mathbb{R}[/tex] con [tex]A \subset \mathbb{R}^2[/tex] , e sia [tex](x_0,y_0)[/tex] punto di accumulazione per [tex]A[/tex]; sia [tex]g:\mathbb{R} \supset B \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che:
1) [tex](x,g(x)) \in A[/tex];
2) [tex]x_0[/tex] è p.to di acc per [tex]B[/tex];
3) [tex]$\lim_{x \to x_0}g(x)=y_0[/tex];
allora se [tex]$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=l[/tex] allora [tex]$\lim_{x \to x_0}f(x,g(x))=l[/tex]
sia data [tex]f: A \rightarrow \mathbb{R}[/tex] con [tex]A \subset \mathbb{R}^2[/tex] , e sia [tex](x_0,y_0)[/tex] punto di accumulazione per [tex]A[/tex]: allora, se esiste, possiamo calcolare il limite per [tex](x,y) \rightarrow (x_0,y_0)[/tex] della funzione: dato che il codominio è T2, allora il limite è unico.
Supponiamo di voler mostrare che [tex]f[/tex] non ammette limite per [tex](x,y) \rightarrow (x_0,y_0)[/tex] : il nostro professore ci ha abituato a farlo vedere in questo modo: basta trovare due funzioni [tex]g(x),h(x)[/tex] tali che, imponendo [tex]y=g(x)[/tex] e successivamente [tex]y=h(x)[/tex] si abbia che, per [tex]x \rightarrow x_0[/tex] le due funzioni [tex]f(x,g(x))[/tex] ed [tex]f(x,h(x))[/tex] tendono a due limiti diversi (oppure almeno uno dei due non esiste). Ora, il mio professore non ha posto limitazioni per quanto riguarda le caratteristiche delle funzioni [tex]g,h[/tex] per cui vorrei farlo io:
1) [tex]g,h[/tex] devono essere tali che [tex](x,g(x)),(x,h(x)) \in A[/tex];
2) [tex]x_0[/tex] sia punto di accumulazione per i domini di queste due funzioni;
3) [tex]$\lim_{x \to x_0}g(x)=\lim_{x \to x_0}h(x)=y_0[/tex].
è giusto? Ci sono da considerare altre condizioni? Ce ne sono troppe?
Se quello che ho scritto è giusto, possiamo sintetizzare il tutto nella seguente proposizione?
PROP: sia [tex]f: A \rightarrow \mathbb{R}[/tex] con [tex]A \subset \mathbb{R}^2[/tex] , e sia [tex](x_0,y_0)[/tex] punto di accumulazione per [tex]A[/tex]; sia [tex]g:\mathbb{R} \supset B \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che:
1) [tex](x,g(x)) \in A[/tex];
2) [tex]x_0[/tex] è p.to di acc per [tex]B[/tex];
3) [tex]$\lim_{x \to x_0}g(x)=y_0[/tex];
allora se [tex]$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=l[/tex] allora [tex]$\lim_{x \to x_0}f(x,g(x))=l[/tex]
Risposte
La prima parte è giusta, la seconda assolutamente no: questo metodo di considerare $f(x, g(x)), f(x, h(x))$ può servire solo a fare vedere che un limite non esiste, mentre nella tua Proposizione tu pretendi di usarlo per mostrare che un limite esiste e anche per calcolarlo.
Ma per quale motivo la proposizione dovrebbe essere falsa?
Magari con qualche aggiustamento su g però quello che dice è che comunque si tenda al punto la $f$ tenda a $l$.
Certonon è utile a fini del calcolo perchè questo deve essere vero per tutte le direzione, ma è utile da confutare in quanto bisogna trovare due particolari.
Magari con qualche aggiustamento su g però quello che dice è che comunque si tenda al punto la $f$ tenda a $l$.
Certonon è utile a fini del calcolo perchè questo deve essere vero per tutte le direzione, ma è utile da confutare in quanto bisogna trovare due particolari.
"dissonance":
La prima parte è giusta, la seconda assolutamente no: questo metodo di considerare $f(x, g(x)), f(x, h(x))$ può servire solo a fare vedere che un limite non esiste, mentre nella tua Proposizione tu pretendi di usarlo per mostrare che un limite esiste e anche per calcolarlo.
Penso che abbia letto al contrario
Che cretino, è vero! Scusami bestiedda, è vero ho letto frettolosamente invertendo l'ultima implicazione, e siccome è un errore comune sono partito in quarta. In realtà è tutto corretto e anzi molto ben formalizzato. Volendo generalizzare ulteriormente puoi anche considerare delle curve in $RR^2$, affermando che se il limite di $f(x, y)$ esiste allora per ogni curva con un estremo in $(x_0, y_0)$ e che non esce dal dominio di $f$ esiste il limite della restrizione di $f$ alla curva e coincide con il limite di $f(x, y)$. In particolare questo è vero se consideri curve della forma $(x, g(x)$, ovvero grafici di funzioni, ed è quello che hai fatto qui.
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