Limiti di funzioni razionali
Ciao. Sto esercitandomi un po' sui limiti in vista dell'esame, tutto sommato riesco abbastanza, ma riscontro qualche difficoltà con le funzioni razionali.
Ne posto una di esempio
$ lim_(x -> oo) (sqrt(x+1))/(1-sqrt(3x)) $
Voi come risolvereste?
Ne posto anche un'altro che mi ha messo in difficoltà
$ lim_(x -> -oo) (2^x + 2^-x)/x $
Vi sarei grato se riuscite a darmi qualche spunto/idea su come scomporli in un'altra forma, per evitare la forma indeterminata
grazie a tutti!
Ne posto una di esempio
$ lim_(x -> oo) (sqrt(x+1))/(1-sqrt(3x)) $
Voi come risolvereste?
Ne posto anche un'altro che mi ha messo in difficoltà
$ lim_(x -> -oo) (2^x + 2^-x)/x $
Vi sarei grato se riuscite a darmi qualche spunto/idea su come scomporli in un'altra forma, per evitare la forma indeterminata
grazie a tutti!
Risposte
per la prima prova a raccogliere $sqrt(x)$ sopra e sotto, in modo da avere il rapporto di radici di x per una cosa che tende a 1; per la seconda ti basta notare che $2^x$ (e in generale $a^x$ per qualsiasi $a$ maggiore di $1$) è un infinito di ordine superiore a $x$
"TTnt87":
per la seconda ti basta notare che $2^x$ (e in generale $a^x$ per qualsiasi $a$ maggiore di 1$) è un infinito di ordine superiore a $x$
ehm... cioè?!
[mod="dissonance"]:-)
Era saltato un dollaro, l'ho aggiunto io.[/mod]
Era saltato un dollaro, l'ho aggiunto io.[/mod]
Ordine di infinito più grande in poche parole significa che tende a infinito "più velocemente" rispetto all'altra funzione. Il grafico avrà un coefficiente angolare una pendenza maggiore alla retta $y=x$ e questo è ovvio!
Se non hai studiato gli ordini di infinito o il teorema di De l'Hopital, è difficile sistemare quella forma di indeterminazione.
si si, so cosa sono! 
In realtà c'era un errore di battitura (come specificato da dissonance) e uscivano un sacco di simboli di cui non si capiva nulla
Guardate la parte (finale) che ho quotato io, mi riferivo a quella
Adesso che è stato corretto, è tutto più chiaro
In realtà c'era un errore di battitura (come specificato da dissonance) e uscivano un sacco di simboli di cui non si capiva nulla
Guardate la parte (finale) che ho quotato io, mi riferivo a quella Adesso che è stato corretto, è tutto più chiaro
ok, ho fatto un po' di prove/esercizi. Vediamo se ho fatto giusto
Io ho fatto così: $ lim_(x -> oo) (sqrt(x+1))/(1-sqrt(3x)) = lim_(x -> oo) (sqrt(x (1+1/x)))/(1-sqrt(3x)) = lim_(x -> oo) (sqrt(x))/(sqrt(3x)*(-1+1/sqrt(3x)) $
Alla fine risulta $ sqrt(x)/sqrt(3x)$ ... e il limite sarebbe $1/sqrt(3)$ ? giusta come soluzione?
beh, si... ma al numeratore ho $2^(x) + 2^(-2)$ ... che fa $oo - oo$.. quindi al numeratore è comunque indeterminata, no?
"TTnt87":
per la prima prova a raccogliere $sqrt(x)$ sopra e sotto, in modo da avere il rapporto di radici di x per una cosa che tende a 1;
Io ho fatto così: $ lim_(x -> oo) (sqrt(x+1))/(1-sqrt(3x)) = lim_(x -> oo) (sqrt(x (1+1/x)))/(1-sqrt(3x)) = lim_(x -> oo) (sqrt(x))/(sqrt(3x)*(-1+1/sqrt(3x)) $
Alla fine risulta $ sqrt(x)/sqrt(3x)$ ... e il limite sarebbe $1/sqrt(3)$ ? giusta come soluzione?
per la seconda ti basta notare che $2^x$ (e in generale $a^x$ per qualsiasi $a$ maggiore di $1$) è un infinito di ordine superiore a $x$
beh, si... ma al numeratore ho $2^(x) + 2^(-2)$ ... che fa $oo - oo$.. quindi al numeratore è comunque indeterminata, no?
$2^x+2^{-x}$ per x che tende a meno infinito tende a $0 + \infty$ quindi al numeratore non hai forma indeterminata
edit: per il primo limite stai attento al segno perchè nella parentesi al denominatore rimane -1 in più secondo me sarebbe meglio specificare che il limite è per x che tende a $+\infty$ e non a $\infty$
edit: per il primo limite stai attento al segno perchè nella parentesi al denominatore rimane -1 in più secondo me sarebbe meglio specificare che il limite è per x che tende a $+\infty$ e non a $\infty$
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