Limiti di funzioni e successioni

[marco.surfing]

Salve a tutti,
sto concludendo (per quanto riguarda gli esami) il primo anno di ingegneria e purtroppo sto facendo una grossa fatica a seguire il corso di analisi matematica 1, in quanto ho un diploma di agrotecnico (inutilissimo), conseguito 6 anni fa e anche perchè in matematica non ho mai particolarmente brillato.

stiamo facendo i limiti. premetto che non abbiamo ancora fatto la regola de l'hopital, taylor, etc.....
dobbiamo quindi risolvere tali limiti solamente con semplificazioni algebriche, razionalizzazioni, uso del THM dei due carabinieri, uso dei limiti notevoli, thm del confronto, scale degli infiniti/infinitesimi.

sono molto semplici, quindi sicuramente la maggior parte di voi li sa risolvere.

siate così gentili di scrivermi tutti i passaggi (devo ancora prendere la mano).

un grazie enorme in anticipo.

ecco i testi dei primi:


1) $\lim_{x \to \-infty}x*(x-sqrt(x^2-1))$

2)$\lim_{n \to \infty}(n/sqrt(n+1))-(n+1)/sqrt(n)$

3)$\lim_{n \to \infty}((n^2)/sqrt(n^2+3n+1))-n$

4)$\lim_{x \to \infty}x*(sinx-2)


marco rossi

[marco.surfing]

dimenticavo. abbiamo anche fatto i limiti di funzioni composte.

[fabry1985mi]

Piccola premessa: mai postare esercizi senza una traccia in cui almeno è stato fatto lo sforzo di provarci!

Per il primo esercizio dove compare forma di indecisione, abbiamo che:

$\lim_{x \to \-infty}x*(x-sqrt(x^2-1))=lim_{x \to \-infty}x*[x-sqrt(x^2*(1-1/(x^2)))]=lim_{x \to \-infty}x*(x-|x|*sqrt(1-1/(x^2)))=lim_{x \to \-infty}x*(x+x*sqrt(1-1/(x^2)))=+infty$

dove ho usato la formula $|x|=-x$ poiché $x->-oo$

[kekko989]

per il 4 ti consiglio il teorema dei carabinieri.. per esempio sai che $-3

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[fabry1985mi]

Per il secondo è facile basta osservare che:

$\lim_{n \to \infty}(n/sqrt(n+1))-(n+1)/sqrt(n)=lim_{n \to \infty}frac(n*sqrt(n)-(n+1)*sqrt(n+1))(sqrt(n)*sqrt(n+1))=lim_{n \to \infty}frac(n*sqrt(n)-n*sqrt(n+1)-sqrt(n+1))(sqrt(n)*sqrt(n+1))=lim_{n \to \infty}frac(n*sqrt(n)*(1 -(1+1/n)^(1/2))-sqrt(n+1))(sqrt(n)*sqrt(n+1))=lim_{n \to \infty}frac(n*sqrt(n)*(1 -(1+1/(2n)))-sqrt(n+1))(sqrt(n)*sqrt(n+1))=$
$=lim_{n \to \infty}frac(-sqrt(n)/2-sqrt(n+1))(sqrt(n)*sqrt(n+1))=lim_{n \to \infty}-frac(sqrt(n)+2*sqrt(n+1))(2*sqrt(n)*sqrt(n+1))=lim_{n \to \infty}-frac(sqrt(n)*[1+2*(1+1/n)^(1/2)])(2*sqrt(n)*sqrt(n+1))=lim_{n \to \infty}-frac(1+2*1/(2n))(2*sqrt(n+1))->0$ per $n->+oo$

dove è stato usato il limite notevole che:

$(1+1/n)^(alpha)~1+1/(alphan)$ per $n->+oo$ e $forall alpha in RR$

Ora hai un esercizio svolto per le successioni e uno per le funzioni quindi imita quel che è stato fatto qui e cammina con le tue gambe!

In bocca al lupo!!

[marco.surfing]

innanzitutto vi ringrazio per la risposte!

si in effetti d'ora in poi posterò anche i miei passaggi illustrando dove mi blocco.

mi rendo conto che la difficoltà più grande per me è capire cosa fare. in questo caso era abbastanza facile.
avevo anche provato a moltiplicare e dividere per $x+sqrt(x^2-1)$ ottenendo:

$\lim_{n \to \-infty}x*(x-sqrt(x^2-1))*(x+sqrt(x^2-1))/(x+sqrt(x^2-1))$ $\Rightarrow$ $\lim_{n \to \-infty}x*(x^2-x^2+1)/(x+sqrt(x^2-1))$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $\lim_{n \to \-infty}x*1/(x+sqrt(x^2*(1-1/x^2)))$ $\Rightarrow$ $\lim_{n \to \-infty}x*1/(x+|x|*sqrt(1-1/x^2))$

ma a questo punto non ho una forma:

x tende a meno infinito e la frazione tende a 0 -------------> infinito per 0 = 0.

dove sbaglio?

grazie

[@melia]

"marco.surfing":
avevo anche provato a moltiplicare e dividere per $x+sqrt(x^2-1)$ ottenendo:
$\lim_{x \to \-infty}x*(x-sqrt(x^2-1))*(x+sqrt(x^2-1))/(x+sqrt(x^2-1))$ $\Rightarrow$ $\lim_{n \to \-infty}x*(x^2-x^2+1)/(x+sqrt(x^2-1))$ $\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $\lim_{n \to \-infty}x*1/(x+sqrt(x^2*(1-1/x^2)))$ $\Rightarrow$ $\lim_{n \to \-infty}x*1/(x+|x|*sqrt(1-1/x^2))$
ma a questo punto non ho una forma:
x tende a meno infinito e la frazione tende a 0 -------------> infinito per 0 = 0.
dove sbaglio?
grazie

Sbagli a considerare come forma indeterminata questo limite $\lim_{x \to \-infty}x*(x-sqrt(x^2-1))$ che non è altro che un prodotto $-oo * (-oo)=+oo$ dentro la parentesi ci sono due addendi che valgono entrambi $-oo$ quindi la loro somma è $-oo$
Il procedimento che hai adottato sarebbe stato valido se $x-> +oo$.
Non devi razionalizzare le forme che non sono indeterminate, altrimenti ti viene una forma indeterminate.

[marco.surfing]

ahhhh ok. perfetto. grazie mille dei preziosi consigli! ora vado a cimentarmi un pò. e a vedere in quale altro cantone andrò ad inchiodarmi =)

per chiunque avesse voglia di scambiare due chiacchere/pareri/consigli riguardanti matematica e non ne sarei lieto:

msn: [e-mail]
skype: marco.surfing

ciao,
marco rossi

[marco.surfing]

ciao a tutti,

grazie fabry per la risoluzione del limite numero 2. io la ho trovata un pò complicata e laboriosa sotto il profilo dei passaggi algebrici. non c'è un altro modo più sbrigativo per arrivare alla conclusione di tale limite?

grazie

marco