Limiti di funzioni di due variabili con coordinate polari
Buongiorno! Mi trovo davanti ad appunti apparentemente incompleti o comunque vaghi .
Per certo so che posso risolvere un limite, se esiste (dopo aver fatto almeno un tentativo con le restrizioni per trovare un candidato a limite L) sfruttando il teorema dei carabinieri
$\lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)= L hArr |f(x,y)-L|<= g(x,y) rarr0 text{ per }(x,y)->(x_0,y_0)$
Il che equivale, passando alle coordinate polari, in caso di funzione radiale, a:
$\lim_((rhocostheta,rhosintheta)->(0,0))f(rhocostheta,rhosintheta)= L hArr |f(rhocostheta,rhosintheta)-L|<= g(rho) rarr0 text{ per }rho->0^+$
Se non sono ubriaca nel caso di limite infinito per il teorema del confronto pongo:
Con $g(x,y)->L text{ per } (x,y)->(x_0,y_0)$
$f<=g text{ nel caso di }L=-infty$
$f>=g text{ nel caso di }L=+infty$
E analogamente se $g(rho)$ fosse radiale con $g(rho)->L=+-infty$ per $rho->0^+$ ?
Un problema più grande sorge appena il limite tende ad infinito, vado in cortocircuito.
$\lim_(text{|(x,y)|}->+oo)f(x,y)= L $
Innanzitutto, nel caso in cui il limite non esista non so bene a che genere di restrizione puntare, ho visto esempi in cui si faceva tendere una variabile, dopo aver ristretto, a -oo e non riesco a concepirlo dopo aver assimilato il concetto del modulo positivo che va ad infinito+.
Inoltre nel momento in cui volessi passare a coordinate polari: PANICO.
La condizione di base penso sia sempre quella di impostare:
* se $LinRR$ .......... $|f-L|<=g$
* se $L=-infty$ ...... $f<=g$
* se $L=+infty$ ...... $f>=g$
Con g e rho che si comportano come, però?
Ma la tragedia vera è il fatto che non sono riuscita a trovare esercizi, magari svolti, per esercitarmi ed avere conferme.
Scusate il fiume confuso di parole, spero di essermi fatta capire.
Per certo so che posso risolvere un limite, se esiste (dopo aver fatto almeno un tentativo con le restrizioni per trovare un candidato a limite L) sfruttando il teorema dei carabinieri
$\lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)= L hArr |f(x,y)-L|<= g(x,y) rarr0 text{ per }(x,y)->(x_0,y_0)$
Il che equivale, passando alle coordinate polari, in caso di funzione radiale, a:
$\lim_((rhocostheta,rhosintheta)->(0,0))f(rhocostheta,rhosintheta)= L hArr |f(rhocostheta,rhosintheta)-L|<= g(rho) rarr0 text{ per }rho->0^+$
Se non sono ubriaca nel caso di limite infinito per il teorema del confronto pongo:
Con $g(x,y)->L text{ per } (x,y)->(x_0,y_0)$
$f<=g text{ nel caso di }L=-infty$
$f>=g text{ nel caso di }L=+infty$
E analogamente se $g(rho)$ fosse radiale con $g(rho)->L=+-infty$ per $rho->0^+$ ?
Un problema più grande sorge appena il limite tende ad infinito, vado in cortocircuito.
$\lim_(text{|(x,y)|}->+oo)f(x,y)= L $
Innanzitutto, nel caso in cui il limite non esista non so bene a che genere di restrizione puntare, ho visto esempi in cui si faceva tendere una variabile, dopo aver ristretto, a -oo e non riesco a concepirlo dopo aver assimilato il concetto del modulo positivo che va ad infinito+.
Inoltre nel momento in cui volessi passare a coordinate polari: PANICO.
La condizione di base penso sia sempre quella di impostare:
* se $LinRR$ .......... $|f-L|<=g$
* se $L=-infty$ ...... $f<=g$
* se $L=+infty$ ...... $f>=g$
Con g e rho che si comportano come, però?
Ma la tragedia vera è il fatto che non sono riuscita a trovare esercizi, magari svolti, per esercitarmi ed avere conferme.
Scusate il fiume confuso di parole, spero di essermi fatta capire.
Risposte
È vero che non si trova molto materiale sui limiti in coordinate polari, su cui la teoria è facile ma non completamente banale. Ma mi pare che tu abbia capito bene tutto. Venendo alle tue domande: la stima[nota]Qui uso la convenzione \(f(r, \theta) = f(r\cos \theta, r\sin \theta)\).[/nota]
\[
|f(r, \theta) - L| \le g(r)
\]
ti serve a qualcosa solamente se \(g(r)\to 0\), sia che \(r\to 0\) sia che \(r\to \infty\). Quanto al dimostrare che un limite non esiste, devi trovare due curve \(\gamma_1(t), \gamma_2(t)\) tali che \(|\gamma_j(t)|\to \infty\) per \(t\to t_0\) (generalmente \(t_0=0\) oppure \(t_0=\pm\infty\)) tali che
\[
\lim_{t\to t_0} f(\gamma_1(t))\ne \lim_{t\to t_0} f(\gamma_2(t)) \quad \text{oppure uno dei limiti non esiste}.
\]
P.S.: Ho scritto "due curve" ma vanno bene anche due successioni, se preferisci.
\[
|f(r, \theta) - L| \le g(r)
\]
ti serve a qualcosa solamente se \(g(r)\to 0\), sia che \(r\to 0\) sia che \(r\to \infty\). Quanto al dimostrare che un limite non esiste, devi trovare due curve \(\gamma_1(t), \gamma_2(t)\) tali che \(|\gamma_j(t)|\to \infty\) per \(t\to t_0\) (generalmente \(t_0=0\) oppure \(t_0=\pm\infty\)) tali che
\[
\lim_{t\to t_0} f(\gamma_1(t))\ne \lim_{t\to t_0} f(\gamma_2(t)) \quad \text{oppure uno dei limiti non esiste}.
\]
P.S.: Ho scritto "due curve" ma vanno bene anche due successioni, se preferisci.
Intanto grazie dissonance 
quindi riordinando le idee (sarà superfluo ma ormai che l'ho scritto almeno mi resta "stampato" ahaha):
- limite finito $LinRR$ cerco $|f-L|<=g$
* in $(x,y)$ tutto regolare
* in $(rho,theta)$ la $rho-> 0^+ vv +infty$ ma sempre $g(rho)->0$
- limite infinito $L=+infty vv -infty$ cerco rispettivamente $f>=g vv f<=g$
* in $(x,y)$ ancora tutto regolare
* in $(rho,theta)$ la $rho-> +infty $ con $ g(rho)->+-infty$ nel caso tendente ad infinito.
Fin qui tutto dovremmo esserci, solo mi manda in tilt il caso:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(x,y) = +-infty$
In questo caso? Forse si è accesa la lampadina, dimmi se ha senso il ragionamento:
Cerco sempre una f>g(f
Probabilmente il mio vero problema è non riuscire a visualizzare un sistema in coordinare polari. La storia dell'origine non mi suona bene, ma spero di essermi avvicinata.
quindi riordinando le idee (sarà superfluo ma ormai che l'ho scritto almeno mi resta "stampato" ahaha):- limite finito $LinRR$ cerco $|f-L|<=g$
* in $(x,y)$ tutto regolare
* in $(rho,theta)$ la $rho-> 0^+ vv +infty$ ma sempre $g(rho)->0$
- limite infinito $L=+infty vv -infty$ cerco rispettivamente $f>=g vv f<=g$
* in $(x,y)$ ancora tutto regolare
* in $(rho,theta)$ la $rho-> +infty $ con $ g(rho)->+-infty$ nel caso tendente ad infinito.
Fin qui tutto dovremmo esserci, solo mi manda in tilt il caso:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(x,y) = +-infty$
In questo caso? Forse si è accesa la lampadina, dimmi se ha senso il ragionamento:
Cerco sempre una f>g(f
Probabilmente il mio vero problema è non riuscire a visualizzare un sistema in coordinare polari. La storia dell'origine non mi suona bene, ma spero di essermi avvicinata.
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