Limiti di funzioni composte...

[kioccolatino90]

buona sera a tutti ho un dubbio su come dimostrare con il teorema dei limiti di funzione composta, un limite. Posto un esempio:

il $lim_(x->1)(sin(1-x^2))/(1-x^2)=1$ lo posso dimostrare molto facilmente usando i limiti notevoli però divento un po difficile con il teorema di una funzione composta io ho provato a fare così:

$lim_(x->1)(sin(1-x^2))/(1-x^2)$ faccio una sostituzione $t=sin(1-x^2)$ adesso però non riesco ad individuare l'altra funzione se non quella dell'argomento;

ma credo che sbaglio qualche considerazione....l'unica cosa che mi viene in mente è che in questo caso non si può dimostrare perchè abbiamo solo la funzione seno e il suo argomento e niente più....è vero?

[Lorin1]

Ma non fai prima a sostituire $t=1-x^2$

[Raptorista1]

Scusami, non ho capito cosa stai chiedendo; in particolare, mi è oscuro il significato della frase

adesso però non riesco ad individuare l'altra funzione se non quella dell'argomento

[kioccolatino90]

"Raptorista":Scusami, non ho capito cosa stai chiedendo; in particolare, mi è oscuro il significato della frase[...]

volevo dire ad esempio, il limite $lim_(x->0)(arctanx)/x=1$ sostituisco $t=arctanx$ poi adopero con il teorema di funzione composte per cui $x=tant$ e per $x->0$, $t->0$ e poi da qua posso scrivere $lim_(t->0)(t/tant)$ e poi dimostro il teorema con un paio di passaggi però qua abbiamo 2 finzioni arctangente e tangente mentre nel mio caso ho solo il seno....

[Raptorista1]

Devi fare esattamente quello che hai appena fatto, anche il seno ha la sua funzione inversa.

[kioccolatino90]

Ah certo è verò!!!!
allora mi viene:

il $lim_(x->1)(sin(1-x^2))/(1-x^2)=1$

$lim_(x->1)(arcsin(1-x^2))/(1-x^2)$ sostituisco $t=arcsin(1-x^2)$ e poi$1-x^2=sint$ e il limite diventa $lim_(x->1)t/(sint)$ che per il limite notevole risulta essere uguale a 1 e l'ho verificato....

[Raptorista1]

Non ho controllato i conti, ma il concetto è sempre quello.

[kioccolatino90]

ma se il limite fosse stato $x->+oo$ all'infinito era la stessa cosa?

[Raptorista1]

Per nulla: i limiti notevoli sono validi in un opportuno intorno del punto di contatto delle funzioni, mica ovunque!

[kioccolatino90]

e in quel caso come si procedeva persvolgere il limite?

[Raptorista1]

Ogni volta cambia; in questo caso direi col teorema del confronto.

[kioccolatino90]

ma quindi se mi chiede di dimostrarlo con i limiti notevoli e con il teorema di funzioni composte non si può fare???

[Lorin1]

Dipende sempre dal caso...comunque ci sono anche i limiti notevoli per $x->oo$

[Raptorista1]

"Lorin":Dipende sempre dal caso...comunque ci sono anche i limiti notevoli per $x->oo$

Certo, ma non per seno e tangente

[Lorin1]

Ah si si ovvio...dicevo in generale!

[kioccolatino90]

ad esempio il limite $lim_(x->+oo)sin(x/(x^2+1))/(x/(x^2+1))=1$ lo devo dimostrare con i limiti notevoli e con il teorema delle funzioni composte.... ma se il limite va all'infinito allora non so come fare, perchè se va a zero il limite allora potevo dire che per il limite notevole tutto il limite è uguale a uno ma visto che va all'infinito non so che considerazione fare.....

[ciampax]

Prova a porre [tex]$t=\frac{x}{x^2+1}$[/tex] e vedi cosa accade alla variabile $t$.

[kioccolatino90]

ok mi esce:

$lim_(x->oo)(sint/t)$ cioè proprio il milite nitevole del seno però quella $x->oo$ come la tolgo?

[Raptorista1]

Edit: non avevo notato che era ancora $x$ a tendere

Giusto quello che suggerisce Gi8 al posto successivo.

[Gi81]

Se poni $t=x/(x^2+1)$ e $x->oo$, devi capire a quanto tende $t$.
Il limite diventerà $lim_(t->?) sin(t)/t$, dove, al posto di ? ci va il valore trovato

[kioccolatino90]

allora "sostituisco" a $x=oo $ ed ho: $t=oo/(oo^2+1)$ qundi $t->oo$ ragionando con le gerarchie degli infiniti di ordine superiore..... però sapendo che mi serve $t->0$ questo risultato non mi serve dove ho sbagliato?