Limiti di funzioni composte...

[kioccolatino90]

buona sera a tutti ho un dubbio su come dimostrare con il teorema dei limiti di funzione composta, un limite. Posto un esempio:

il $lim_(x->1)(sin(1-x^2))/(1-x^2)=1$ lo posso dimostrare molto facilmente usando i limiti notevoli però divento un po difficile con il teorema di una funzione composta io ho provato a fare così:

$lim_(x->1)(sin(1-x^2))/(1-x^2)$ faccio una sostituzione $t=sin(1-x^2)$ adesso però non riesco ad individuare l'altra funzione se non quella dell'argomento;

ma credo che sbaglio qualche considerazione....l'unica cosa che mi viene in mente è che in questo caso non si può dimostrare perchè abbiamo solo la funzione seno e il suo argomento e niente più....è vero?

[Paolo902]

Come ti è stato detto, devi porre [tex]$t=\frac{x}{x^2+1}$[/tex]; ora non devi sostituire (che significa l'espressione $x=oo$?!?), ma devi fare questo mini-ragionamento. Se $x to +oo$ a che cosa tende $t$? $t$ tende al valore del limite [tex]$ \lim_{x \to \infty } \frac{x}{x^2+1}$[/tex] che non è affatto $oo$, ma è...

[kioccolatino90]

è zero..... ora mi è venuto in mente il De L'Opital......quindi $lim_(x->oo)(x/(x^2+1))=lim_(x->oo)(1/(2x))$ quindi un numero piccolo diviso un numero grande tende a zero.....ok quindi si trova dimostrato con i limit notevoli mentre col il teorema delle funzioni composte come si può fare? io sto provando in tutti i modi ma i è troppo difficile!!!!

[ciampax]

Guarda che in questo modo lo hai dimostrato con il Teorema delle Funzioni composte!!!! Se tu poni

[tex]$t=\frac{x}{x^2+1}$[/tex] questa è una funzione (la chiamo [tex]$g(x)$[/tex]) e ottieni la cosa seguente:

[tex]$\lim_{x\to\infty} g(x)=0\ \Rightarrow\ \lim_{x\to\infty}\frac{\sin(g(x))}{g(x)}=1$[/tex]

[kioccolatino90]

ah ok capito grazie mille!!!!!!!!!!!!