Limiti di funzioni a più variabili
ciao ragazzi ancora una volta mi trovo a postare per avere un aiutino.
mi trovo a dover dimostrare che:
$ lim_(x,t -> xo,0) e^{-(x)^(2)/ t } / sqrt(|t| ) = 0 $
ora, mi ritrovo scomodo con il passaggio in coordinate polari, procedimento che non mi porta a niente, non riesco di fatto a maggiorarlo.
ho pensato allora di passare a vedere in modo diretto, e sembra funzionare, ovvero sostituendo trovo:
$ e^{-(xo)^(2) /t} -> 0 $ per $ t ->0 $ e che $ sqrt(|t|) -> 0 $ per $ t ->0 $
infine per la gerarchia degli infiniti il limite va definitivamente a zero...
il mio dubbio era sull' $ (xo)/t $ infatti lo zero a cui tente la t non mi da informazioni sul fatto che possa essere uno zero + o uno zero - ...
mi chiedo quindi se posso semplicemente far tendere genericamente ad infinito e mettergli il segno meno dato dal testo.
questa è una ambiguità che mi trovo spesso ad affrontare quando trovo limiti di questo genere, sapreste rispondermi ?
grazie
mi trovo a dover dimostrare che:
$ lim_(x,t -> xo,0) e^{-(x)^(2)/ t } / sqrt(|t| ) = 0 $
ora, mi ritrovo scomodo con il passaggio in coordinate polari, procedimento che non mi porta a niente, non riesco di fatto a maggiorarlo.
ho pensato allora di passare a vedere in modo diretto, e sembra funzionare, ovvero sostituendo trovo:
$ e^{-(xo)^(2) /t} -> 0 $ per $ t ->0 $ e che $ sqrt(|t|) -> 0 $ per $ t ->0 $
infine per la gerarchia degli infiniti il limite va definitivamente a zero...
il mio dubbio era sull' $ (xo)/t $ infatti lo zero a cui tente la t non mi da informazioni sul fatto che possa essere uno zero + o uno zero - ...
mi chiedo quindi se posso semplicemente far tendere genericamente ad infinito e mettergli il segno meno dato dal testo.
questa è una ambiguità che mi trovo spesso ad affrontare quando trovo limiti di questo genere, sapreste rispondermi ?
grazie
Risposte
Beh si hai ragione. Purtroppo hai anche [tex]|t|[/tex] sotto radice il che ti permette di considerarlo sia dalla destra che dalla sinistra, se non diversamente specificato. Diversamente, se non ci fosse stato il modulo, per questioni di dominio sarebbe stato implicitamente dalla destra. Quel risultato vale se è dalla destra (e se [tex]x_0\neq 0[/tex] o comunque non tende a 0)
infatti se xo tendesse a zero il limite non esisterebbe, e lo si vede con le restrizioni...
ma in questo caso mi trovo senza altre idee ...
ma in questo caso mi trovo senza altre idee ...
Scusa ma basta che ti metti sulal restrizione $f|_(x=x_0)=e^(-(x_0)^2/t)/sqrt(|t|)$ e ti viene che tende a 0 per t tendente a $0+$ e $+oo$ per t tendente a $0-$,...infatti nell'intorno sinistro dello 0 l'esponente esplode a più infinito,...
"antani":
Scusa ma basta che ti metti sulal restrizione $f|_(x=x_0)=e^(-(x_0)^2/t)/sqrt(|t|)$ e ti viene che tende a 0 per t tendente a $0+$ e $+oo$ per t tendente a $0-$,...infatti nell'intorno sinistro dello 0 l'esponente esplode a più infinito,...
se lo zero è uno zero + allora si il limite da zero, ma al contrario in uno zero meno otterrei $ +oo $ come risultato, dimostrando il contrario.. ovvero che il limite non esiste....
eh infatti...quindi il limite non esiste...il succo era quello 
Non tende a 0 come dici nel primo post...Quando si dice "il limite quando t tende a 0 esiste" significa dev'esser uguale a destra e a sinistra, altrimenti no, non esiste, era una balla !
Non tende a 0 come dici nel primo post...Quando si dice "il limite quando t tende a 0 esiste" significa dev'esser uguale a destra e a sinistra, altrimenti no, non esiste, era una balla !
"antani":
eh infatti...quindi il limite non esiste...il succo era quello
sarà... ma dubito che mettano "tranelli" del genere sul libro in ogni caso si potrei concludere che non esiste, ma la cosa non mi convince...
magari è un errore di stampa...magari il quadrato è su tutto l'esponente e non solo sulla x...
Cosa stai risolvendo, l'equazione del calore in un semipiano?
Se è così, la variabile temporale di solito è [tex]$t>0$[/tex], quindi il limite è da destra.
P.S.: Si dice "funzione di due variabili".
Se è così, la variabile temporale di solito è [tex]$t>0$[/tex], quindi il limite è da destra.
P.S.: Si dice "funzione di due variabili".
"gugo82":
Cosa stai risolvendo, l'equazione del calore in un semipiano?
Se è così, la variabile temporale di solito è [tex]$t>0$[/tex], quindi il limite è da destra.
P.S.: Si dice "funzione di due variabili".
l'esercizio non da nessuna informazione di questo genere per quel che so t è una variabile qualunque, esplicitamente l'esercizio dice:
"dimostrare che:
$ lim_(x0,t -> 0,0) = e^{-x^2 / t} /sqrt(|t| ) = 0 $ con $x0 != 0 $
Non era $ (x,t) rarr (x_0,0) $ ?
$ e ^(-x^2/t)/sqrt(|t|) $ sembra proprio essere la soluzione fondamentale dell'equazione del calore.
$ e ^(-x^2/t)/sqrt(|t|) $ sembra proprio essere la soluzione fondamentale dell'equazione del calore.
In tal caso la proposizione è falsa.
Infatti, se [tex]$t\to 0^-$[/tex], allora [tex]$e^{-\frac{x^2}{t}} \to +\infty$[/tex] con ordine infinitamente elevato.
Infatti, se [tex]$t\to 0^-$[/tex], allora [tex]$e^{-\frac{x^2}{t}} \to +\infty$[/tex] con ordine infinitamente elevato.
si scusate mea culpa era a Xo e non 0.... 
e si se fosse al posto di xo zero il limite non esisterebbe ( cosa che chiede di dimostrare nell'esercizio precedente .. )
e si se fosse al posto di xo zero il limite non esisterebbe ( cosa che chiede di dimostrare nell'esercizio precedente .. )
"gugo82":
In tal caso la proposizione è falsa.
Infatti, se [tex]$t\to 0^-$[/tex], allora [tex]$e^{-\frac{x^2}{t}} \to +\infty$[/tex] con ordine infinitamente elevato.
Ribadisco che la proposizione:
[tex]$\lim_{(x,t)\to (x_0,0)} \frac{e^{-\frac{x^2}{t}}}{\sqrt{|t|}} =0$[/tex]
è falsa.
Per rendersene conto basta calcolare il limite per [tex]$(x,t)\to (x_0,0)$[/tex] della restrizione di [tex]$f(x,t)$[/tex] alla semiretta [tex]$\{ (x,t)\in \mathbb{R}^2:\ x=x_0,\ t<0\}$[/tex].
Per renderla vera o si aggiunge la restrizione [tex]$t>0$[/tex] (che equivarrebbe ad un [tex]$t\to 0^+$[/tex]), oppure si piazza un [tex]$|t|$[/tex] al posto di [tex]$t$[/tex] nell'argomento dell'esponenziale.
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