Limiti di funzioni a due variabili

[ADP87]

ciao ragazzi,

volevo sapere qualche suggerimento sulla risoluzione dei limiti a due variabili..ho notato sul testo di analisi 2 che

quando un limite ammette soluzione finita per gli (x,y) che tendono per dei valori (a,b) significa che esiste il limite e che l'esercizio è terminato..esempio

$ lim_((x.y) -> (2,3)) 2x -y^2= -5 $

mentre quando non si hanno soluzioni, o meglio nel caso

$ lim_((x.y) -> (0,0)) (2xy)/(x^2+y^2)=0/0 $ si ricorre allo studio lungo gli assi cartesiani cioè per le coppie di punti (x,0) asse y=0 e (0,y) asse x=0, se i due limiti ammettono lo stesso valore L( ad esempio "zero") devo dimostrare che L sia realmente zero( o un qualsiasi altro valore) e il libro a volte utilizza il metodo delle coordinate polari sostituendo ad x e y

$ { ( x=rhocosvartheta ),( y=rho sinvartheta ):} $

mentre a volte pone $ y=x $ bisettrice..e altre volte (non in questo caso) delle curve del tipo.. $ y=x ^2 $ o $ y=sqrtx $ ..
le mie domande sono..

devo utilizzare sempre in questi casi le soluzioni paramentriche?
devo utilizzare sempre le sostituzioni del tipo y=x o altro?
ed inoltre, ad un esercizio sostituendo con le parametriche mi sarebbe uscito il $ lim_(rho -> 0) f(x,y)=0 $ ed il libro affermava che la funzione non era limitata per rho tendente a zero, provando successivamente che il lim non esisteva sostituendo
$ y=x ^2 $

mi potete dare dei suggerimenti?se potete i passaggi passo per passo..

[walter891]

Purtroppo per le funzioni di più variabili una regola generale non esiste quindi non c'è niente da poter spiegare passo per passo: il libro ti fa vedere vari metodi perchè bisogna scegliere di volta in volta quello più conveniente guardando la funzione. L'unica cosa che vale sempre è che se il limite esiste deve avere lo stesso valore lungo qualsiasi direzione (che sono infinite) quindi appena rovi 2 valori diversi concludi che il limite non esiste.
Per verificare che invece il limite esiste di solito le coordinate polari sono comode perchè controllare una alla volta infinite direzioni è impossibile

[ADP87]

"walter89":Purtroppo per le funzioni di più variabili una regola generale non esiste quindi non c'è niente da poter spiegare passo per passo: il libro ti fa vedere vari metodi perchè bisogna scegliere di volta in volta quello più conveniente guardando la funzione. L'unica cosa che vale sempre è che se il limite esiste deve avere lo stesso valore lungo qualsiasi direzione (che sono infinite) quindi appena rovi 2 valori diversi concludi che il limite non esiste.
Per verificare che invece il limite esiste di solito le coordinate polari sono comode perchè controllare una alla volta infinite direzioni è impossibile

ho capito..senti e allora perchè sul libro afferma che la funzione non è definita per $ rho rarr 0 $ ? usciva zero il limite..non capisco perchè non possa essere zero..

[gio73]

mmm

provo a fare un esempio con una funzione in una variabile
$f(x)=(x^2-1)/(x-1)$

direi che la funzione non è definita per $x=1$, ma il limite c'è e vale $2$, o sbaglio?

[ADP87]

"gio73":mmm
provo a fare un esempio con una funzione in una variabile
$f(x)=(x^2-1)/(x-1)$
direi che la funzione non è definita per $x=1$, ma il limite c'è e vale $2$, o sbaglio

forse non è la stessa cosa a due variabili..
scrivo l'esercizio

$ lim_((x ,y)->( 0,0) )(2x^2y)/(x^4+y^2)=0/0 $
per y=0

$ lim_((x ,y)->( x,0) )(2x^2y)/(x^4+y^2)=0 $

per x=0

$ lim_((x ,y)->( 0,y) )(2x^2y)/(x^4+y^2)=0 $

$ L=0 $

$ { ( x=rhocosvartheta ),( y=rho sinvartheta ):} $

$ lim_(rho -> 0) (2rhocos^2thetasintheta)/(rho^2cos^4theta+sin^2theta) $ tale limite non dovrebbe essere zero? e quindi dimostrare che il lim esiste?il libro invece dice che non è definito il limite e che non esiste il limite ponendo

$ y=x^2rArr lim_((x ,y)->( x,x^2) )(2x^2y)/(x^4+y^2) = (2x^4)/(x^4+x^4)=1 $ e quindi non esiste..

[Brancaleone1]

$ lim_((x ,y)->( 0,0) )(2x^2y)/(x^4+y^2)$

Per $y=x$ hai:

$ lim_(x->0) (2x^3)/(x^4+x^2)$ \(\displaystyle \sim \) $(2x^3)/(x^2)=2x=0$

Per $y=x^2$ invece hai:

$ lim_(x->0) (2x^4)/(2x^4)=1$

Essendo questi due risultati diversi, il limite non esiste.

[ADP87]

"Brancaleone":

$ lim_((x ,y)->( 0,0) )(2x^2y)/(x^4+y^2)$

Per $y=x$ hai:

$ lim_(x->0) (2x^3)/(x^4+x^2)$ \(\displaystyle \sim \) $(2x^3)/(x^2)=2x=0$

Per $y=x^2$ invece hai:

$ lim_(x->0) (2x^4)/(2x^4)=1$

Essendo questi due risultati diversi, il limite non esiste.

sisi questo l'ho capito..ma volevo capire perchè non è definita per $ rhorarr 0 $ perchè io ad esempio vedendo il limite con le coordinate polari tendente a zero avrei potuto fermarmi e dire..esiste il limite..e invece no..