Limiti di funzioni a 2 variabili

[informatico91]

ciao a tutti. Inizio a scrivere qui sul forum con un problema che sto cercando di risolvere da oggi pomeriggio.
Ho iniziato a studiare per l'esame di analisi II circa un paio di settimane fa ed ora sto facendo esercizi sulla ricerca dei massimi e minimi (non relativi) di funzioni
Oggi mi trovavo a svolgere l'esercizio 46 a pagina 4 di questo pdf http://www.ingegneria.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=895833&name=DLFE-74156.pdf. Solo che mi sono fermato alla disuguaglianza, che non ho ben capito cosa centri con il limite che bisogna trovarsi..e soprattutto non ho capito perchè da quella disuguaglianza segue che il limite fa 0. Qualcuno sicuramente più bravo di me mi sa aiutare???

[Sk_Anonymous]

Il motivo per cui vengono usate quelle disuguaglianze è che si vuole usare il teorema dei carabinieri.
E' omessa la disuguaglianza ovvia $0<|f(x,y)|$ e, tramite quelle disuguaglianze trova una $g(x,y)$ infinitesima che è sempre maggiore di $|f(x,y)|$.
Questo gli permette di dire che $0<|f(x,y)|+\infty$

La catena di disuguaglianze esce da questi fatti:

[*:lal1wc4n] $|x-y|\le |x|+|y|$ è la disuguaglianza triangolare

[/*:m:lal1wc4n]
[*:lal1wc4n] $|x|+|y|\le 2\sqrt(x^2+y^2)$ discende dal fatto che $(|x|-|y|)^2\ge 0$[/*:m:lal1wc4n][/list:u:lal1wc4n]

[informatico91]

"Alfius":Il motivo per cui vengono usate quelle disuguaglianze è che si vuole usare il teorema dei carabinieri.
E' omessa la disuguaglianza ovvia $0<|f(x,y)|$ e, tramite quelle disuguaglianze trova una $g(x,y)$ infinitesima che è sempre maggiore di $|f(x,y)|$.
Questo gli permette di dire che $0<|f(x,y)|+\infty$

La catena di disuguaglianze esce da questi fatti:

[*:1n07arpm] $|x-y|\le |x|+|y|$ è la disuguaglianza triangolare

[/*:m:1n07arpm]
[*:1n07arpm] $|x|+|y|<2\sqrt(x^2+y^2)$ discende dal fatto che $(|x|-|y|)^2\ge 0$[/*:m:1n07arpm][/list:u:1n07arpm]

la prima disuguaglianza l'avevo intuita e me l'hai confermata. La seconda anche riguardandola più volte non la sto riuscendo a capire..
La prima parte mi è chiara. Ovviamente hai posto g(x,y) = $|x|+|y| $ giusto??

[Sk_Anonymous]

$0\le (|x|-|y|)^2=x^2+y^2-2|xy|\Rightarrow x^2+y^2\ge 2|xy|\Rightarrow 3(x^2+y^2)\ge x^2+y^2\ge 2|xy|\Rightarrow$
$4(x^2+y^2)-(x^2+y^2)\ge 2|xy|\Rightarrow 4(x^2+y^2)\ge x^2+y^2+2|xy|=(|x|+|y|)^2\Rightarrow 2\sqrt{x^2+y^2}\ge |x|+|y|$

[informatico91]

"Alfius":$ 5(x^2+y^2)\ge x^2+y^2\ge 2|xy|\Rightarrow$ $4(x^2+y^2)-(x^2+y^2)\ge 2|xy|$

Come fai a fare questo passaggio?

[Sk_Anonymous]

"informatico91":[quote="Alfius"]$ 5(x^2+y^2)\ge x^2+y^2\ge 2|xy|\Rightarrow$ $4(x^2+y^2)-(x^2+y^2)\ge 2|xy|$

Come fai a fare questo passaggio?[/quote]

Ups, scusa, al posto di $5$ dovevo scrivere $3$
Correggo il post sopra.

[informatico91]

"Alfius":[quote="informatico91"][quote="Alfius"]$ 5(x^2+y^2)\ge x^2+y^2\ge 2|xy|\Rightarrow$ $4(x^2+y^2)-(x^2+y^2)\ge 2|xy|$

Come fai a fare questo passaggio?[/quote]

Ups, scusa, al posto di $5$ dovevo scrivere $3$
Correggo il post sopra.[/quote]
Ok ora è chiaro
Ora però penso a una cosa. Se avessi voluto calcolare il limite senza ricorrere alle disuguaglianze l'avrei potuto fare?
Chiedo questo perchè all'esame (se mi dovesse uscire un esercizio simile) non ho la soluzione davanti e sicuramente a utilizzare disuguaglianze del genere non mi verrebbe mai in mente..

[Sk_Anonymous]

La vedo dura. L'idea chiave che è stata usata in quell'esercizio è stata quella di fare apparire le variabili $x$ e $y$ solo in espressioni della forma $x^2+y^2$ di modo che il limite per $||(x;y)|| ->oo$ si riducesse al limite in una sola variabile (definendo $r=||(x;y)||$).

[Sk_Anonymous]

Comunque ti consiglio di tenere a mente una nota disuguaglianza fra media armonica, geometrica, aritmetica e quadratica (oltre ovviamente alla utilissima disuguaglianza triangolare).
Fai attenzione però: la disuguaglianza è vera solo per numeri positivi! Questo problema lo puoi risolvere di solito arrangiandoti con la disuguaglianza triangolare per fare comparire i moduli delle variabili che ti interessano.

$\min{x_1,x_2,...,x_n}<=n/(1/x_1+1/x_2+...+1/x_n)<=\root[n]{x_1x_2...x_n}<=(x_1+x_2+...+x_n)/n<=\sqrt{(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)/2}$

Nel caso di due sole variabili $x$ e $y$

$\min{x,y}<=2/(1/x+1/y)<=\sqrt{xy}<=(x+y)/2<=\sqrt{(x^2+y^2)/2}$

In effetti l'esercizio che stavi risolvendo poteva essere agevolmente risolto usando $(x+y)/2<=\sqrt{(x^2+y^2)/2}$

[informatico91]

"Alfius":La vedo dura. L'idea chiave che è stata usata in quell'esercizio è stata quella di fare apparire le variabili $x$ e $y$ solo in espressioni della forma $x^2+y^2$ di modo che il limite per $||(x;y)|| ->oo$ si riducesse al limite in una sola variabile (definendo $r=||(x;y)||$).

Quindi posso dire che questo esercizio è un caso particolare no??
Cioè in generale quando non vale il teorema di Weierstrass (come in questo esercizio) e devo quindi studiare il limite all'infinito non riesco a trovare un criterio preciso con cui trovare quanto vale il limite??

[Sk_Anonymous]

Non credo che le idee di questo esercizio siano particolari, anzi, può darsi che all'esame siano queste le idee chiave da applicare (cerchi di fare apparire le variabili $x$ e $y$ solo in espressioni del tipo $x^2+y^2$).

Comunque secondo me nella maggior parte dei casi ne vieni fuori tramite la lista di disuguaglianze (facili da ricordare) che ho riportato nel post sopra.

[informatico91]

"Alfius":Non credo che le idee di questo esercizio siano particolari, anzi, può darsi che all'esame siano queste le idee chiave da applicare (cerchi di fare apparire le variabili $x$ e $y$ solo in espressioni del tipo $x^2+y^2$).

Comunque secondo me nella maggior parte dei casi ne vieni fuori tramite la lista di disuguaglianze (facili da ricordare) che ho riportato nel post sopra.

Ah buono a sapersi. Vedrò di tenerle bene a mente.
Un ultima cosa che non ho capito. In quello stesso esercizio subito dopo le disuguaglianze dice "Poichè f(1, 0) = 1/2 e f(0, 1) = −1/2 allora la funzione ha massimo e minimo in E."
Perchè considera proprio quei punti e soprattutto perchè uscendo tali valori può dire che la funzione ammette massimo e minimo in E?

[Sk_Anonymous]

Scelto un $\epsilon$ arbitrariamente piccolo tu sai che esiste un valore $M$ tale che se $||(x;y)||>M$ (vale a dire (x,y) all'esterno di una palla centrata nell'origine e di raggio M) allora |f(x,y)|< $\epsilon$. Lo stesso discorso vale con $\epsilon =$1/2, ovviamente.

Avendo trovato due valori interni alla palla tali che |f|=1/2 puoi dedurre che se f ha un minimo o un massimo esso si troverà necessariamente all'interno di tale palla. Se consideri l'intersezione fra E e quella palla ottieni un insieme chiuso, quindi f ha massimo e minimo all'interno di tale intersezione e per le considerazioni fatte prima essi saranno massimi e minimi globali all'interno di tutto E.

[informatico91]

"Alfius":Scelto un $\epsilon$ arbitrariamente piccolo tu sai che esiste un valore $M$ tale che se $||(x;y)||>M$ (vale a dire (x,y) all'esterno di una palla centrata nell'origine e di raggio M) allora |f(x,y)|< $\epsilon$. Lo stesso discorso vale con $\epsilon =$1/2, ovviamente.

Avendo trovato due valori interni alla palla tali che |f|=1/2 puoi dedurre che se f ha un minimo o un massimo esso si troverà necessariamente all'interno di tale palla. Se consideri l'intersezione fra E e quella palla ottieni un insieme chiuso, quindi f ha massimo e minimo all'interno di tale intersezione e per le considerazioni fatte prima essi saranno massimi e minimi globali all'interno di tutto E.

Quindi la scelta ricade sui punti (1,0) e (0,1) oltre che perchè si trovano nel vincolo anche per semplicità. Nel senso che così può considerare una palla di centro l'origine e raggio 1??

[Sk_Anonymous]

Sì, la scelta dei punti (1,0) e (0,1) è fatta perché rispettano i vincoli e per semplicità.
Il raggio della palla però non dipende da questo. Il raggio della palla è $M$ che dipende dalla scelta di $\epsilon$.
Attenzione che affermare che $\lim_{||(x;y)|| ->+oo} |f(x;y)|=0$ significa che $|f(x;y)|<\epsilon$ per $(x;y)$ "abbastanza lontano dall'origine" (il concetto di palla di raggio $M$, con $M$ dipendente da $\epsilon$ formalizza questo concetto di "abbastanza lontano").
Non si sa come si comporta la $f$ per $||(x;y)||<=M$.

[informatico91]

ma se ad esempio un delle due immagini fosse uscita 1/2 e l'altra ad esempio -1 cosa sarebbe cambiato?

[Sk_Anonymous]

Non cambierebbe nulla.

Cerca di farti un'immagine in mente di come possa essere fatta la funzione con la condizione (fondamentale) che $|f(x;y)| ->0$ per (x,y) lontano dall'origine.
Provo a fare un discorso a livello puramente intuitivo (che si formalizza col metodo che ho accennato nei post precedenti). La condizione $|f(x;y)| ->0$ (unita al fatto che sei riuscito a trovare due punti vicini all'origine per cui la $f$ assume in un caso un valore positivo e in un caso un valore negativo) serve soprattutto ad assicurarti che se esiste un massimo o un minimo esso non può trovarsi troppo lontano dall'origine, perché se ti allontani molto la funzione sarà sempre più vicina a $0$.
Ad esempio lontano dall'origine la funzione non potrà più salire sopra il valore 1/2, quindi, se in un punto vicino all'origine hai trovato f=1/2, allora sicuramente il massimo (che deve valere almeno 1/2) non si troverà così lontano.
Un discorso simmetrico vale per i valori negativi: se ti spingi troppo lontano la funzione non scenderà mai più sotto -1 quindi il minimo non può essere così lontano (il minimo sicuramente è -1 oppure meno, visto che hai trovato un punto per cui vale f=-1).

Il problema nascerebbe se non sei in grado di trovare nessun punto "vicino all'origine" per cui $f$ assuma un valore negativo (o nullo).
C'è il rischio che la $f$ sia tutta positiva e non si annulli mai (prova a immaginare a una specie di campana infinitamente estesa appoggiata sopra il piano $xy$). Allora una funzione fatta così non avrebbe un minimo (più ti allontani dall'origine, più la funzione si avvicina a $0$, senza mai raggiungerlo!).
Chiaramente nascerebbe un problema simile nel caso simmetrico, in cui non riesci a trovare un punto in cui $f$ sia positiva (o nulla).

Ovviamente questo è solo un ragionamento puramente intuitivo e andrebbe formalizzato bene, ma spero chiarisca i dubbi.

[informatico91]

"Alfius":Non cambierebbe nulla.

Cerca di farti un'immagine in mente di come possa essere fatta la funzione con la condizione (fondamentale) che $|f(x;y)| ->0$ per (x,y) lontano dall'origine.
Provo a fare un discorso a livello puramente intuitivo (che si formalizza col metodo che ho accennato nei post precedenti). La condizione $|f(x;y)| ->0$ (unita al fatto che sei riuscito a trovare due punti vicini all'origine per cui la $f$ assume in un caso un valore positivo e in un caso un valore negativo) serve soprattutto ad assicurarti che se esiste un massimo o un minimo esso non può trovarsi troppo lontano dall'origine, perché se ti allontani molto la funzione sarà sempre più vicina a $0$.
Ad esempio lontano dall'origine la funzione non potrà più salire sopra il valore 1/2, quindi, se in un punto vicino all'origine hai trovato f=1/2, allora sicuramente il massimo (che deve valere almeno 1/2) non si troverà così lontano.
Un discorso simmetrico vale per i valori negativi: se ti spingi troppo lontano la funzione non scenderà mai più sotto -1 quindi il minimo non può essere così lontano (il minimo sicuramente è -1 oppure meno, visto che hai trovato un punto per cui vale f=-1).

Il problema nascerebbe se non sei in grado di trovare nessun punto "vicino all'origine" per cui $f$ assuma un valore negativo (o nullo).
C'è il rischio che la $f$ sia tutta positiva e non si annulli mai (prova a immaginare a una specie di campana infinitamente estesa appoggiata sopra il piano $xy$). Allora una funzione fatta così non avrebbe un minimo (più ti allontani dall'origine, più la funzione si avvicina a $0$, senza mai raggiungerlo!).
Chiaramente nascerebbe un problema simile nel caso simmetrico, in cui non riesci a trovare un punto in cui $f$ sia positiva (o nulla).

Ovviamente questo è solo un ragionamento puramente intuitivo e andrebbe formalizzato bene, ma spero chiarisca i dubbi.

Ora è chiaro ...ho capito soprattutto il motivo per cui si vuole sapere il comportamento della funzione all'infinito..
quindi ricapitolando: quando mi si chiede di trovare il massimo e minimo di una funzione (se esistono) e non vale il teorema di Weierstrass innanzitutto mi controllo il comportamento della stessa all'infinito. Se va a infinto allora posso dire che non ammette massimo e minimo; se invece ammette limite finito dovrei cercare di trovare due punti appartenenti all'intersezione del dominio col vincolo tali che un'immagine stia al di sopra del valore limite e l'altra al di sotto. In questo modo posso dire che la funzione ammette massimo e minimo nel vincolo. Può essere corretto come ragionamento da applicare in un esercizio??

[Sk_Anonymous]

Intuitivamente è corretto (dico intuitivamente perché per essere considerato una dimostrazione andrebbe formalizzato bene), a parte una piccola imprecisione. Se $f$ va a $+\infty$ allora sai che non ha un massimo, però potrebbe avere un minimo! Pensa ad esempio ad un paraboloide rivolto verso l'alto.

[informatico91]

"Alfius":Intuitivamente è corretto (dico intuitivamente perché per essere considerato una dimostrazione andrebbe formalizzato bene), a parte una piccola imprecisione. Se $f$ va a $+\infty$ allora sai che non ha un massimo, però potrebbe avere un minimo! Pensa ad esempio ad un paraboloide rivolto verso l'alto.

Ah ok..l'importante è questo. Almeno se mi capita nuovamente un tale esercizio so intuitivamente come devo muovermi.
Ti ringrazio infinitamente per la disponibilità e per la pazienza

[Sk_Anonymous]

Di nulla