Limiti di funzioni

[kenta88]

eccomi qua ancora per una volta a chiedervi aiuto... ma non prima di urlare BUON NATALE A TUTTI!!!

torniamo a noi.... mi serve una spiegazione "MOLTO CHIARA PER IGNORANTE" da parte vostra per capire come dimostrare questo limite:

$lim x->3 1/(2x-1)=1/5$

GRAZIE BOYS!

[_Tipper]

Dalla definizione si ha che

$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0$ tale che da $0 < |x - 3| < \delta$ segue $|\frac{1}{2x-1} - \frac{1}{5}| < \epsilon$

Quello che devi fare quindi è risolvere la disequazione $|\frac{1}{2x-1} - \frac{1}{5}| < \epsilon$, e vedere che è soddisfatta in un intorno (dipendente da $\epsilon$) di $3$.

[kenta88]

"Tipper":Dalla definizione si ha che

$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0$ tale che da $0 < |x - 3| < \delta$ segue $|\frac{1}{2x-1} - \frac{1}{5}| < \epsilon$

Quello che devi fare quindi è risolvere la disequazione $|\frac{1}{2x-1} - \frac{1}{5}| < \epsilon$, e vedere che è soddisfatta in un intorno (dipendente da $\epsilon$) di $3$.

perchè $0 < |x - 3| < \delta$ ?

[Paolo902]

Tipper voleva dire (penso) $0<|f(x)-3|


Pol

[_Tipper]

No, volevo proprio dire $0 < |x - 3| < \delta$. Si mette la parte $0 <$ perché non si è interessati a quello che succede per $x = 3$ (da che la funzione in tale punto potrebbe non essere definita).

[Paolo902]

"Tipper":No, volevo proprio dire $0 < |x - 3| < \delta$. Si mette la parte $0 <$ perché non si è interessati a quello che succede per $x = 3$ (da che la funzione in tale punto potrebbe non essere definita).

Perdonami ma non ti seguo. Thanks

[_Tipper]

Dov'è che non mi segui Paolo?

[kenta88]

mmmm....
raga non capisco... da dove è uscita sta cosa? $0 < |x - 3| < \delta$

[Paolo902]

Sarò rintronato di brutto, ma non ho capito perchè deve essere $0<|x-3|a)f(x)$) in un intorno (dipendente da $epsilon$) di $a$?

Grazie per la pazienza.

[Paolo902]

Cioè, io avrei fatto così:

$|f(x)-l|
$|1/(2x-1)-1/5|
Togliendo il modulo, la disequazione diventa un sistema di disequazioni fratte.

[_Tipper]

Là dove compare la riga incriminata io ho soltanto scritto la definizione $\epsilon$-$\delta$ del limite. Per verificare che

$\lim_{x \to x_0} f(x) = l$

si deve prima studiare la disequazione $|f(x) - l| < \epsilon$, e verificare che è soddisfatta in un intorno di $x_0$ (privato di $x_0$) il cui raggio dipende da $\epsilon$ (e che chiamiamo $\delta$).

[_Tipper]

"Paolo90":Cioè, io avrei fatto così:

$|f(x)-l|
$|1/(2x-1)-1/5|
Togliendo il modulo, la disequazione diventa un sistema di disequazioni fratte.

Certo, ma ora va risolta. Prova, se ti va, poi dopo ti faccio vedere dove sta il $\delta$.

[kenta88]

sono daccordo con paolo... i oanche avrei fatto così... ma lo sbordoni non è d'accordo....

$|(1/(2x-1))-(1/5)| = (2/5) |(3-x)/(2x-1)|

[Paolo902]

"Tipper":Là dove compare la riga incriminata io ho soltanto scritto la definizione $\epxilon$-$\delta$ del limite. Per verificare che

$\lim_{x \to x_0} f(x) = l$

si deve prima studiare la disequazione $|f(x) - l| < \epsilon$, e verificare che è soddisfatta in un intorno di $x_0$ (privato di $x_0$) il cui raggio dipende da $\epsilon$ (e che chiamiamo $\delta$).

Allora siamo d'accordo. Ma da qui a $0<|x-3|

[Paolo902]

Aspetta.. non avevo visto gli ultimi messaggi... scusatemi

[Paolo902]

La disequazione diventa un sistema di disequazioni fratte:

${[(2(3-x))/(5(2x-1))> -epsilon],[(2(3-x))/(5(2x-1))<+epsilon]:}$

E (come era prevedibile) mi incarto perchè dalla prima ottengo che il $N>0$ se $x>(6-5epsilon)/((2(1-5epsilon))$: ma ciò non è corretto perchè devo porre delle condizioni su $epsilon$ e infine non so quanto valga questa espressione e non sono quindi in grado di rappresentarla sul "quadro" frazione...

AIUTOOOOOOO... ho mangiato troppo panettone mi sa

Grazie

[Luca.Lussardi]

Sì, ti deve venire un intorno di $3$ la soluzione di quel sistema; il fatto che per $\epsilon=0$ trovi $3$ nell'ultima espressione mi fa ben pensare sul conto che hai fatto.

[Paolo902]

"Luca.Lussardi":Sì, ti deve venire un intorno di $3$ la soluzione di quel sistema; il fatto che per $\epsilon=0$ trovi $3$ nell'ultima espressione mi fa ben pensare sul conto che hai fatto.

Quindi è giusto? Vuoi dire che è solo un problema di "scrittura" del risultato (cioè non riesco a scriverlo come $3+g(epsilon)$ (dove con $g(epsilon)$ intendo una generica espressione contenente $epsilon$)?
Comunque, nonostante l'abbia trovato su numerosi testi, non mi convince il discorso del $delta$ che faceva Tipper. O meglio, non è che non mi convince, non lo capisco.

Vi ringrazio ancora per l'aiuto che saprete darmi.

[Sk_Anonymous]

"Paolo90":La disequazione diventa un sistema di disequazioni fratte:
${[(2(3-x))/(5(2x-1))> -epsilon],[(2(3-x))/(5(2x-1))<+epsilon]:}$
E (come era prevedibile) mi incarto perchè dalla prima ottengo che il $N>0$ se $x>(6-5epsilon)/((2(1-5epsilon))$: ma ciò non è corretto perchè devo porre delle condizioni su $epsilon$ e infine non so quanto valga questa espressione e non sono quindi in grado di rappresentarla sul "quadro" frazione...

Grazie

$(2(3-x))/(5(2x-1))> -epsilon => (-2(1-5epsilon)x+6-5epsilon )/(5(2x-1))>0 =>1/21/2 ricorda che $epsilon$ deve essere positiva, ma può essere piccola a piacere, ovvero puoi avere limitazioni superiori per $epsilon$, ma non inferiori, cioè sono ammesse limitazioni del tipo $epsilon<$ di una grandezza positiva, ma non $epsilon >$ di una grandezza positiva, perché quando $epsilon$ è grande i conti tornano sempre comunque.

$(2(3-x))/(5(2x-1))<+epsilon =>(-2(1+5epsilon)x+6+5epsilon )/(5(2x-1))>0 =>x<1/2 vvx>(6+5 epsilon)/(2+10 epsilon ) => x<1/2 vv x>3-(25 epsilon)/(2+10 epsilon )$,


${[1/23-(25 epsilon)/(2+10 epsilon )]:}$ da cui si ricava $3-(25 epsilon)/(2+10 epsilon ) che è appunto l'intorno di 3 cercato, indicando con $delta= min ((25 epsilon)/(2-10 epsilon), (25 epsilon)/(2+10 epsilon))=(25 epsilon)/(2+10 epsilon)$ si ottiene $|x-3|

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[Paolo902]

Anzitutto a te, Amelia, vanno i miei più grandi ringraziamenti per la tua spiegazione. Finalmente, ho capito da dove salta fuori 'sto benedettissimo $delta$ (Tipper.. ce l'ho fatta.. anche se con molta fatica.. evvai!! ). GRAZIE A TUTTI di cuore (anche a te Luca ) per avermi aiutato. Ora mi metto a lavorare un po' sui limiti e se ho ancora problemi spero di poter contare sul vostro (sempre) determinante aiuto.

Grazie. Ad maiora!

Paolo