Limiti di funzioni
Buonsera,
apro questo topic per chiedervi alcuni suggerimenti e chiarimenti circa la risoluzioni di limiti di funzioni, con i quali mi capita spesso di avere qualche problema. Prendo come esempio un esercizio che mi è appena capitato, per esporvi i miei dubbi:
$\lim_{x \to \infty}root(3)((x^4 - 6x^3)/(x - 2) - x)$.
Non essendo tale limite riconducibile ad alcuna forma notevole, ho pensato di procedere semplificando i vari termini. Nello specifico ho portato $- x$ al numeratore e ho raccolto quest'ultimo per $x^4$:
$\lim_{x \to \infty}root(3)(((x^4(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/(x - 2))$.
A questo punto ho portato la radice fuori dal limite ed ho concluso che quest'ultimo tendesse ad $\infty$ esclusivamente basandomi sulla stima asintotica. Il problema è che questo genere di procedimento non mi da alcuna sicurezza, ma mi capita spesso di applicarlo poiché non riesco a trovare altri metodi di risoluzione. La mia domanda è quindi: come avreste risolto il limite in questione? Ci sono metodi più affidabili? Sbaglio a procedere in tal modo?
apro questo topic per chiedervi alcuni suggerimenti e chiarimenti circa la risoluzioni di limiti di funzioni, con i quali mi capita spesso di avere qualche problema. Prendo come esempio un esercizio che mi è appena capitato, per esporvi i miei dubbi:
$\lim_{x \to \infty}root(3)((x^4 - 6x^3)/(x - 2) - x)$.
Non essendo tale limite riconducibile ad alcuna forma notevole, ho pensato di procedere semplificando i vari termini. Nello specifico ho portato $- x$ al numeratore e ho raccolto quest'ultimo per $x^4$:
$\lim_{x \to \infty}root(3)(((x^4(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/(x - 2))$.
A questo punto ho portato la radice fuori dal limite ed ho concluso che quest'ultimo tendesse ad $\infty$ esclusivamente basandomi sulla stima asintotica. Il problema è che questo genere di procedimento non mi da alcuna sicurezza, ma mi capita spesso di applicarlo poiché non riesco a trovare altri metodi di risoluzione. La mia domanda è quindi: come avreste risolto il limite in questione? Ci sono metodi più affidabili? Sbaglio a procedere in tal modo?
Risposte
Da qui
$ \lim_{x \to \infty}root(3)(((x^4(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/(x - 2)) $
raccogli la $x$ al denominatore
$ \lim_{x \to \infty}root(3)(((x^4(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/(x(1 - 2/x))) $
quindi
$ \lim_{x \to \infty}root(3)(((x^3(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/((1 - 2/x))) $ e dovrebbe esserti più chiaro che il limite non può che risultare $oo$
$ \lim_{x \to \infty}root(3)(((x^4(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/(x - 2)) $
raccogli la $x$ al denominatore
$ \lim_{x \to \infty}root(3)(((x^4(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/(x(1 - 2/x))) $
quindi
$ \lim_{x \to \infty}root(3)(((x^3(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/((1 - 2/x))) $ e dovrebbe esserti più chiaro che il limite non può che risultare $oo$
"ValeForce":
Da qui
$ \lim_{x \to \infty}root(3)(((x^4(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/(x - 2)) $
raccogli la $x$ al denominatore
$ \lim_{x \to \infty}root(3)(((x^4(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/(x(1 - 2/x))) $
quindi
$ \lim_{x \to \infty}root(3)(((x^3(1 - 6/x - 1/x^2 - 2/x^3))/((1 - 2/x))) $ e dovrebbe esserti più chiaro che il limite non può che risultare $oo$
Giusto! Non ci avevo minimamente pensato, banale...
Ne ho un altro:
$lim_{x \to \0^+}xln(x)$
che ho riscritto come:
$lim_{x \to \0^+}ln(x)/x^-1$.
e da ciò, confrontando gli ordini di infinito a numeratore e denominatore, è possibile affermare che il limite tende a zero per stima asintotica. Mi chiedo a questo punto se il ragionamento che ho applicato sia corretto o se abbia commesso errori di valutazione. So bene che è possibile ottenere lo stesso risultato con De l'Hopital o effettuando la sostituzione $x = e^-y$, ma in entrambi i casi sarebbero richiesti più calcoli. In tal modo, invece, il risultato è pressoché immediato, non sono però sicuro che la definizione di limite mi permetta di procedere in tal modo, senza commettere errori.
$lim_{x \to \0^+}xln(x)$
che ho riscritto come:
$lim_{x \to \0^+}ln(x)/x^-1$.
e da ciò, confrontando gli ordini di infinito a numeratore e denominatore, è possibile affermare che il limite tende a zero per stima asintotica. Mi chiedo a questo punto se il ragionamento che ho applicato sia corretto o se abbia commesso errori di valutazione. So bene che è possibile ottenere lo stesso risultato con De l'Hopital o effettuando la sostituzione $x = e^-y$, ma in entrambi i casi sarebbero richiesti più calcoli. In tal modo, invece, il risultato è pressoché immediato, non sono però sicuro che la definizione di limite mi permetta di procedere in tal modo, senza commettere errori.
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