Limiti di funzione esponenziale e moduli

[r4ph43l]

Buongiorno, sto cercando di svolgere un esercizio sullo studio di funzione che e' capitato in un vecchio tema d'esame. Per il momento sto svolgendo solo la parte che trovo un po piu difficile, cioe i limiti.
Il testo e' il seguente:

$ e^((|x|+1)/(|x|-2)) $

Dominio:

$ |x|-2 != 0 $

quindi $ x != 2 e x != -2 $

Limiti: e qua iniziano i problemi

Se non erro avremmo

$ e^((-infty+1)/(-infty-2)) $

Questa e' forma indeterminata?? Nel caso lo sia, lo svolgerei con de l'hopital, pero dovrei considerare l'intera funzione oppure solo la parte ad esponente quindi senza far caso al numero di nepero?
Poi per esempio:

$ lim_{x->2} e^((|x|+1)/(|x|-2)) = lim_{x->2} e^((2+1)/(2-2)) = lim_{x->2} e^(3/(0)) = + infty $

E' corretto questo passaggio??

Vi ringrazio

[lordb]

"r4ph43l":
Poi per esempio:

$ lim_{x->2} e^((|x|+1)/(|x|-2)) = lim_{x->2} e^((2+1)/(2-2)) = lim_{x->2} e^(3/(0)) = + infty $

E' corretto questo passaggio??

Vi ringrazio

Yes

[Plepp]

"r4ph43l":
Limiti: e qua iniziano i problemi

Se non erro avremmo

$ e^((-infty+1)/(-infty-2)) $

Questa e' forma indeterminata?? Nel caso lo sia, lo svolgerei con de l'hopital, pero dovrei considerare l'intera funzione oppure solo la parte ad esponente quindi senza far caso al numero di nepero?

E da dove escono quei $-$? Comunque De L'Hopital è un po' troppo; l'esponente va a $1$, per cui la funzione va a...

[r4ph43l]

Escono dal fatto che la funzione va da infinito quindi sostituisco la x con il -infinito. Perche' l'esponente va a 1??
Se l'esponente tende a 1, la funzione tende a $ e $

[Plepp]

"r4ph43l":Escono dal fatto che la funzione va da infinito quindi sostituisco la x con il -infinito.

Forse non ci stiamo capendo allora. E' questa la funzione di cui parliamo?
\[f(x)=e^{\frac{|x|+1}{|x|-2}}\]
Ne stiamo calcolando il limite per $x\to -\infty$? In tal caso sì, l'esponente va a $1$.

[dissonance]

"lordb":[quote="r4ph43l"]
Poi per esempio:

$ lim_{x->2} e^((|x|+1)/(|x|-2)) = lim_{x->2} e^((2+1)/(2-2)) = lim_{x->2} e^(3/(0)) = + infty $

E' corretto questo passaggio??

Vi ringrazio

Yes [/quote]
Ma come "yes"? Dove trovi scritto \(\text{qualcosa}/0\) è SEMPRE sbagliato. Infatti anche qua: perché dovrebbe essere \(+\infty\)? L'argomento dell'esponenziale non potrebbe forse divergere negativamente? Oppure divergere positivamente in un intorno destro e negativamente in un intorno sinistro? Mi sa proprio che è così, mi sa. Controlla per favore.

[lordb]

@dissonance si ok, sul fatto che scrivere $text{qualcosa / 0}$ sia scorretto è evidente (tuttavia in molti utilizzano una scrittura simile nel calcolo dei limiti per intendere cose del tipo $lim_(x->0^+)e^(1/x)=e^(1/(~~0^+))=e^(+oo)=+oo$ -ciò non toglie- che un procedimento simile sia scorretto.
Vedendo come ha operato ho supposto che il suo intento era calcolare il limite: $lim_(x->2^+) e^((|x|+1)/(|x|-2))$.

[r4ph43l]

@ Plepp: si la funzione e' esattamente quella e ne stiamo calcolando, come hai scritto te $ x -> -infty $

@ Lordb: il mio ragionamento e' identico a quello da te mostrato. Potete spiegarmi il perche' e' scorretto??

Vi ringrazio

[Plepp]

E' scorretto perché $\text{qualcosa/}0$ non significa niente; alle elementari non ci hanno mentito, quando ci dicevano che "$3$$/$$0$ non si può fare"

Al diavolo la $e$; come lo calcoli questo limite?
\[\lim_{x\to 2}\dfrac{x+1}{x-2}\]
(al diavolo anche il valore assoluto ché non cambia un tubo)

[lordb]

@ Plepp devi indicare l'intorno di $2$ dal momento che $lim_(x->2^-)(x+1)/(x-2)!=lim_(x->2^+)(x+1)/(x-2)$.

@r4ph43l innanzi tutto perchè la divisione per zero è priva di significato in quanto non esiste $0^(-1)$!!
In secondo luogo, anche se trovassimo un accordo sul fatto che voglia significare qualcosa di piccolissimo:$5/0=5/(~~0)$ si avrebbe il problema: $5/(~~0)=+oo$ o $5/(~~0)=-oo$??
Bisognerebbe dunque riuscire a definire un intorno di questo numero "circa $0$" e avremmo:
$5/(~~0^+)=+oo$ e $5/(~~0^-)=-oo$.

Devi sapere che quel "circa $0$" prima della rifondazione dell'analisi da parte di Weierstrass era il concetto di infinitesimo di Leibniz, una cosa del tipo:

$5/dx^+=+oo$ e $5/dx^(-) = -oo$

Il concetto di limite è stato appunto introdotto per spazzare via quello incerto e contradditorio di infinitesimo.

Tuttavia ti consiglio di aspettare il responso/giudizio di dissonance

[Plepp]

"lordb":@ Plepp devi indicare l'intorno di $2$ dal momento che $lim_(x->2^-)(x+1)/(x-2)!=lim_(x->2^+)(x+1)/(x-2)$.

Embè? Non ho mai sentito che fosse necessario specificare l'intorno. Ho capito male o mi stai dicendo che la scrittura
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\tag{L}\]
è scorretta poichè
\[\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}\neq \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}\]
? In questa situazione ($\text{L}$), dico semplicemente che il limite non esiste.

[lordb]

Non ho detto che è scorretto, semplicemente visto che gli hai chiesto di calcolarlo mi sembrava oppurtuno specificare l'intorno,tutto qua.

[dissonance]

@lordb: Quel limite, proprio come \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\), non esiste: da un lato la funzione tende a \(0\) e dall'altra a \(+\infty\). Quello che hai scritto è un errore. Sono intoppi che capitano facilmente se usi scritture come \(1/0=\infty\).

In ogni modo sono d'accordo al 100% con Plepp.

[lordb]

Ma infatti io mica l'ho calcolato o detto il contrario, se il limite destro è diverso dal limite sinistro il limite non esiste.

(Ho scritto di specificare l'intorno appunto perchè dal momento che la funzione non è definita in $2$ volevo capire se si voleva calcolare il limite destro o quello sinistro, mi sembra ragionevole come cosa).

Comunque sia,puoi indicarmi dove sono i ragionamenti errati così faccio un bell'edit ?

[r4ph43l]

uhm ok, ho capito praticamente tutto. In ogni caso per sapere a cosa tende la funzione che sia destra o sinistra dovro' fare

$ lim_[x->2] $ prima per la parte sinistra e poi per la parte destra no? In modo tale da poter vedere l'andamento della funzione anche se in quel caso il limite non esiste.

[gio73]

Ciao ragazzi,
OT
@Plepp: bentornato, passate bene le vacanze?
OT

Tornando alla funzione di partenza
$f(x)= e^((|x|+1)/(|x|-2)) $

Ho provato ad immaginarmi il grafico senza studiare le derivate, ditemi se vi sembra corretto (vi ringrazio delle correzioni).
Intanto ho pensato che il grafico fosse simmetrico rispetto all'asse y, così mi domando cosa succede per $x>=0$ e poi lo "specchio".
Allora riconosco una discontinuità in $x=+2$, a destra $(2,+oo)$ l'esponente è positivo e il limite per $x->+oo$ vale $e$, mentre per $x->2^+$ vale $+oo$, il grafico è decrescente e la concavità è rivolta verso l'alto.
Nell'intervallo $[0; 2)$ l'esponente è negativo e il limite per $x->2^-$ vale 0, mentre la funzione vale $f(0)=1/sqrte$, il grafico è decrescente e la concavità è rivolta verso l'alto.
Dopo aver fatto la "riflessione", ho riflettuot e concluso che la funzione è continua in $x=0$, ma non derivabile (ho un punto angoloso).

[Plepp]

"dissonance":Sono intoppi che capitano facilmente se usi scritture come \(1/0=\infty\).

Concordo. Sono scritture che vengono contrabbandate per verità al liceo e nei testi per le scuole superiori, e che a quanto pare fanno più danni che bene.

@Gio: Ciao Gio tutto bene! Mi sono preso un po di riposo mentale...te, tutto ok?