Limiti di funzione al variare di un parametro reale

[fenghuang]

ciao a tutti quanti! Oggi ho svolto un po' di limiti di funzione al variare di un parametro reale, e ho riscontrato qualche problema, che vi illustro con i due seguenti esercizi, di cui spero qualcuno possa mostrarmi la soluzione.

1)$\lim_{x \to \0+} ((x^a)(e^(8x) - cos(2x)))/(3(sin^2x - x^2) + log(1 +x^4 + 5x^7))$

ecco come l'ho svolto io

$ D[x] = (3(sin^2x - x^2) + log(1 +x^4 + 5x^7)) = 3((x - (x^3)/(2!) + o(x^3))^2 - x^2) + (x^4 + 5x^7 + o(x^7)) = -3x^4 + o(x^4) + x^4 + o(x^4) = -2x^4 +o(x^4)$

e

$ N[x] = (x^a)(e^(8x) - cos(2x)) = x^a(1 + 8x +o(x) - 1 + (x^2)/(2!) + o(x^2)) = x^a(8x +o(x)) $ $ $ $ ~ $ $ $ $ 8x^(a+1) $

da cui

$f(x) $ $ ~ $ $ $ $ (8x^(a+1))/(-2x^4) = -4x^(a-3) $

da cui

$ f(x) \rightarrow \{(- \infty , a<3),(-4 , a=3),(0 , a >3):}$

ho dei dubbi sull'aver fatto tutto giusto con gli sviluppi, a voi torna?

2) $ \lim_{x \to \0} (log(1+x) - ax +(1/2)x^(a+1))/(sqrt(1 + x^2) - cosh(e^x -1)) $

con $ a \in (0, +\infty) $.

prima di illustrarvi il mio dubbio, che è su come comportarmi a numeratore, vi chiedo se il seguente sviluppo che ho fatto per il denominatore è corretto. Sapendo che

$cosh(x) = 1 + (x^2)/(2!) + (x^4)/(4!) + ... $

$e^x = 1 + x + (x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) + ... $

$sqrt(1 + x^2) = 1 + (x^2)/2 - (x^4)/4 + ... $

ottengo

$D[x] = 1 + (1/2)x^2 - (1/8)x^4 - cosh(x + (x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) + o(x^3)) = $
$= 1 + (1/2)x^2 - (1/8)x^4 - 1 - ((x + (x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) + o(x^3))^2)/(2!) - ((x + (x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) + o(x^3))^4)/(4!) = $
$= (1/2)x^2 - (1/8)x^4 - ( x^2 + (x^3)/(2!) +(x^4)/(3!) + (x^3)/(2!) + (x^4)/(2!*2!) + (x^4)/(3!) +o(x^4))/(2!) - (x^4)/(4!) + o(x^4) =$

da cui mi rimane ( osservando che ho $(1/2)x^2 - (1/2)x^2$ )

$D[x] = -(1/2)x^3 + o(x^3)$

giusto?

ora, per quanto riguarda il numeratore, io noto che $(1/2)x^(a+1))$ ha esponente sempre maggiore di $-ax$, quindi , visto che x va a zero, mi risulta in $(1/2)x^(a+1) = o(x)$ qualunque valore assuma a in $(0,+infty)$. Da qui io farei così

$N[x] = log(1+x) - ax +(1/2)x^(a+1)) = log(1+x) - ax + o(x) = x + o(x) - ax + o(x) = (1-a)x +o(x) $

da cui ho che

$f(x) $ $ ~ $ $ $ $ ((1-a)x)/(-(1/2)x^3) = -2(1-a)x^(-2) $

il cui limite non sono sicuro di come calcolarlo, visto che x è a dominatore ed è perfettamente 0, ne + ne -, e quindi non so a che infinito vada.

oltre a questo dubbio sul limite e sui vari sviluppi, non mi convince per niente il modo in cui ho svolto l'esercizio, potreste darmi una mano?

ringrazio in anticipo tutti per la collaborazione

[Brancaleone1]

Per il primo:

$lim_(x->0^+) (x^a(e^(8x)-cos(2x)))/(3(sin^2(x)-x^2)+ln(1+x^4+5x^7))$

Impiegando McLaurin:

$e^(8x)=1+8x+o(x)$
$cos(2x)=1-2x^2+o(x^2)$
$sin^2(x)=x^2-x^4/3+2/45x^6+o(x^6)$
$ln(1+x^4+5x^7)=x^4+5x^7+o(x^7)$

sostituisco trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

$lim_(x->0^+)(x^a cdot 8x)/(2/15x^6)=60(x^(a+1))/x^6$

Ora:

${ ( text(se )a+1>6=>a>5=>lim_(x->0^+)f(x)=0 ),( text(se )a+1=6=>a=5=>lim_(x->0^+)f(x)=60 ),( text(se )a+1<6=>a<5=>lim_(x->0^+)f(x)=+oo):}$

2)

$lim_(x->0) (ln(1+x)-ax+1/2x^(a+1))/(sqrt(1+x^2)-cosh(e^x-1))$

Come prima:

$ln(1+x)=...$
$sqrt(1+x^2)=...$
$cosh(e^x-1)=...$

e sostituendo...

[fenghuang]

"Brancaleone":
sostituisco trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

$lim_(x->0^+)(x^a cdot 8x)/(2/15x^6)=60(x^(a+1))/x^6$

scusa solo una cosa, visto che il limite tende a zero, $x^4$ non dovrebbe prevalere su $x^6$? nel qual caso uscirebbe una cosa differente..

[Brancaleone1]

Sì, se ci fosse... i termini con $x^4$ spariscono quando vai a sostituire.