Limiti, derivate ed integrali come operatori

[Sk_Anonymous]

Spesso, a proposito di limiti, derivate ed integrali, sento parlare di "operatori". Qualcuno sa dirmi qualcosa in più?
Thanks!

[alle.fabbri]

Nel contesto dell'analisi funzionale col termine operatore ci si riferisce a quegli oggetti matematici che agendo su una funzione $f(x)$ ti restituiscono un'altra funzione $g(x)$. Ad esempio derivate ed integrali. Chiaramente questo è tutto molto a spanne, per la teoria rigorosa ti rimando a qualche testo di analisi funzionale.

[Sk_Anonymous]

Ciao, mi accontento di quello che mi hai detto. Anche il limite è un operatore?

[alle.fabbri]

No, il limite è un funzionale. Cioè un oggetto che agendo su una funzione ti restituisce un numero.

EDIT:
non sono più così sicuro di quello che ho scritto. Mettiamola così: di sicuro il limite non è un operatore perchè ti restituisce un numero e non una funzione.

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie!

[Sk_Anonymous]

L'integrale doppio, triplo, definito, la derivata nel punto sono funzionali?

Altra domanda: prendiamo l'equazione differenziale $y''+2y'+3y=4x$. Il $+$ che compare nell'equazione non è l'operazione di somma per i numeri reali, giusto? Il $+$ che compare nell'equazione è un operatore che associa a due funzioni un'altra funzione, o sbaglio? Insomma, i simboli $+,*,-$ ecc... che compaiono in un'equazione differenziale non hanno nulla a che fare con le classiche operazioni definite sui reali?

[Riccardo Desimini]

Supponendo che
\[ \matrix{ y : A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ x \mapsto y(x)} \]
allora quelle presenti nell'equazione sono le usuali operazioni tra numeri reali, dal momento che esse sono svolte tra generici elementi delle immagini di $ y $, \( y' \) e \( y'' \).