Limiti della soluzione di un problema di Cauchy

[Osky1]

Ciao a tutti,
Devo verificare l'esistenza, e calcolare i limiti $l^+=\lim_{t\to+\infty}y(t)$ e $l^{-} =\lim_{t\to-\infty}y(t)$ dove $y(t)$ è l'unica soluzione del P-C
$$y'(t)=t^2\cos\left(y(t)+\arctan(t)\right)-\frac{1}{1+t^2}\qquad \text{con dato iniziale} \qquad y(0)=0$$

Ho già dimostrato esistenza e unicità della soluzione su tutto $\mathbb{R}$

Non riesco a dimostrare che $y(t)$ è (definitivamente) monotona e quindi a dimostrare l'esistenza del limite.

Se riuscissi a dimostrare l'esistenza del limite, allora proverei a calcolarlo utilizzando il teorema dell'asintoto.

Avete qualche idea?
Grazie mille

[Osky1]

Mi rispondo da solo (ma non è tutta farina del mio sacco )
visto che $\frac{1}{1+t^2}=(\arctan(t))'$ posso scrivere
$$ y'(t)+\frac{1}{1+t^2}=t^2\cos\left(y(t)+\arctan(t)\right)$$

se definisco $z(t)=y(t)+(\arctan(t))$ allora posso scrivere un nuovo problema di Cauchy equivalente come
$$ z'(t)=t^2\cos(z(t)\qquad \text{con condizione iniziale}\qquad z(0)=0$$

Da qui è facile studiare i limiti; $z(t)$ è monotona crescente tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$

Dopo un po' di conti si trova che $$\lim_{t\to\pm\infty}z(t)=\pm\frac{\pi}{2}$$

Ricordando come era definito $z(t)$ si ha che
$$\lim_{t\to\pm\infty}y(t)+\arctan(t)=\pm\frac{\pi}{2}$$

quindi

$$\lim_{t\to\pm\infty}y(t)=0$$