Limiti del rapporto: curiosità/dubbi.
Ho provato, invano, a ricercare inserendo alcune voci inerenti al mio quesito, ma non sono riuscito a trovare nulla. Mi scuso se fossero presenti discussioni simili alla mia, che non sono riuscito a trovare.
Parliamo di limiti, e precisamente di forme indeterminate di limiti. Nella fattispecie, mi riferisco alla forma indeterminata \(\displaystyle 0/0 \), ma credo che il discorso valga anche per le forme indeterminate \(\displaystyle \infty/\infty \).
1) Da cosa deriva l'esistenza delle forme indeterminate? Perchè, se il numeratore e il denominatore di una funzione rapporto tendono a 0 entrambi, spesso si usa l'espressione "nulla si può dire"?
Provo a dare una spiegazione: succede che, in sostanza, date due funzioni \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle g(x) \) e considerato che \(\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) = 0 \), \(\displaystyle \lim_{n \to x_0}g(x) = 0 \) e che \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = 0\), preso un intorno sufficientemente piccolo di \(\displaystyle x_0 \), non si sa mai quali valori assumano \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle g(x) \) per \(\displaystyle x \) scelte in quell'intorno, e quindi potrebbero assumere valori anche molto diversi, a seconda dell'entità di \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle g(x) \), facendo variare di molto il rapporto stesso e quindi il valore a cui tenderebbero.
Faccio un esempio, anzi due, per cercare di chiarire quanto detto. Consideriamo la funzione \(\displaystyle f(x) = 10^3 x \) e la funzione \(\displaystyle g(x) = x \). In questo caso, il loro rapporto, per \(\displaystyle x \) che tende a zero, ha limite \(\displaystyle 10^3 \); consideriamo, poi, invece, il limite banale della quasi-funzione costante \(\displaystyle f(x) = 1 \), ossia la funzione rapporto \(\displaystyle f(x) = x/x \), sempre per \(\displaystyle x \) che tende a zero, limite che è 1.
Il ragionamento che ho fatto io è che, in questi due casi considerati, noi possiamo risolvere le indeterminatezze, che deriverebbero dall'analizzare singolarmente numeratore e denominatore, solo conoscendo la possibilità di fare semplificazioni tra numeratore e denominatore appunto. Mentre, in altri casi in cui ciò non sia possibile, come non sia possibile fare altri passaggi algebrici che ci conducano alla risoluzione del limite (tipo messe in evidenze), impossibilità legata alla complessità delle funzioni, allora non possiamo dire nulla e rimaniamo nell'indeterminatezza perchè, in un intorno di \(\displaystyle x_0\) non riusciamo ad accorgerci, a meno che non siamo calcolatori umani, dell'andamento delle funzioni numeratore e denominatore, per i valori assunti dalla \(\displaystyle x \) in opportuni intorni di \(\displaystyle x_0 \).
Ma io ho fatto questi esempi anche per mostrare come, nel primo caso, in un opportuno intorno di \(\displaystyle x_0 \), numeratore e denominatore, pur tendendo a zero entrambi, assumono valori molto diversi da quelli assunti nel secondo caso. E quindi, introdurre il concetto di forme indeterminate, nella mia interpretazione, serve a farci capire come, in casi più complicati di questi, non possiamo accorgerci se l'andamento del numeratore e del denominatore si avvicini più al primo esempio (numeratore con numeri molto grandi in un intorno di \(\displaystyle 0 \)) o più al secondo, o addirittura oscilli all'impazzata tra valori grandi e piccoli, o ancora segua un del tutto inimmaginabile andamento.
Spero sia chiaro il mio ragionamento, chiedo il vostro aiuto in merito, ringraziando in anticipo chi voglia aiutarmi
.
Parliamo di limiti, e precisamente di forme indeterminate di limiti. Nella fattispecie, mi riferisco alla forma indeterminata \(\displaystyle 0/0 \), ma credo che il discorso valga anche per le forme indeterminate \(\displaystyle \infty/\infty \).
1) Da cosa deriva l'esistenza delle forme indeterminate? Perchè, se il numeratore e il denominatore di una funzione rapporto tendono a 0 entrambi, spesso si usa l'espressione "nulla si può dire"?
Provo a dare una spiegazione: succede che, in sostanza, date due funzioni \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle g(x) \) e considerato che \(\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) = 0 \), \(\displaystyle \lim_{n \to x_0}g(x) = 0 \) e che \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = 0\), preso un intorno sufficientemente piccolo di \(\displaystyle x_0 \), non si sa mai quali valori assumano \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle g(x) \) per \(\displaystyle x \) scelte in quell'intorno, e quindi potrebbero assumere valori anche molto diversi, a seconda dell'entità di \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle g(x) \), facendo variare di molto il rapporto stesso e quindi il valore a cui tenderebbero.
Faccio un esempio, anzi due, per cercare di chiarire quanto detto. Consideriamo la funzione \(\displaystyle f(x) = 10^3 x \) e la funzione \(\displaystyle g(x) = x \). In questo caso, il loro rapporto, per \(\displaystyle x \) che tende a zero, ha limite \(\displaystyle 10^3 \); consideriamo, poi, invece, il limite banale della quasi-funzione costante \(\displaystyle f(x) = 1 \), ossia la funzione rapporto \(\displaystyle f(x) = x/x \), sempre per \(\displaystyle x \) che tende a zero, limite che è 1.
Il ragionamento che ho fatto io è che, in questi due casi considerati, noi possiamo risolvere le indeterminatezze, che deriverebbero dall'analizzare singolarmente numeratore e denominatore, solo conoscendo la possibilità di fare semplificazioni tra numeratore e denominatore appunto. Mentre, in altri casi in cui ciò non sia possibile, come non sia possibile fare altri passaggi algebrici che ci conducano alla risoluzione del limite (tipo messe in evidenze), impossibilità legata alla complessità delle funzioni, allora non possiamo dire nulla e rimaniamo nell'indeterminatezza perchè, in un intorno di \(\displaystyle x_0\) non riusciamo ad accorgerci, a meno che non siamo calcolatori umani, dell'andamento delle funzioni numeratore e denominatore, per i valori assunti dalla \(\displaystyle x \) in opportuni intorni di \(\displaystyle x_0 \).
Ma io ho fatto questi esempi anche per mostrare come, nel primo caso, in un opportuno intorno di \(\displaystyle x_0 \), numeratore e denominatore, pur tendendo a zero entrambi, assumono valori molto diversi da quelli assunti nel secondo caso. E quindi, introdurre il concetto di forme indeterminate, nella mia interpretazione, serve a farci capire come, in casi più complicati di questi, non possiamo accorgerci se l'andamento del numeratore e del denominatore si avvicini più al primo esempio (numeratore con numeri molto grandi in un intorno di \(\displaystyle 0 \)) o più al secondo, o addirittura oscilli all'impazzata tra valori grandi e piccoli, o ancora segua un del tutto inimmaginabile andamento.
Spero sia chiaro il mio ragionamento, chiedo il vostro aiuto in merito, ringraziando in anticipo chi voglia aiutarmi
.
Risposte
In buona sostanza:
ed il caso in cui il numeratore ed il denominatore di un rapporto tendano ambedue a \(0\) od a \(\infty\) è proprio uno di questi casi.
Infatti, l'algebra dei limiti non consente così su due piedi di assegnare un valore a nessuno dei tre limiti:
\[
\begin{split}
&\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x}\\
&\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x^2}\\
&\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x^4}
\end{split}
\]
perché nel teorema sul limite del rapporto non prevede che entrambi numeratore e denominatore tendano contemporaneamente a \(0\).
Tuttavia, dato che conosci le assegnazioni delle funzioni coinvolte (cioé visto che riesci a particolarizzare il problema), puoi mettere in campo tecniche che ti consentono di calcolare tutti e tre i limiti di cui sopra.
Ad esempio, usando il limite notevole dell'esponenziale ed il teorema sul limite del prodotto, trovi:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x} &= \lim_{x\to 0} \underbrace{\frac{e^{x^2} -1}{x^2}}_{\color{maroon}{\to 1}}\ \underbrace{x}_{\color{maroon}{\to 0}} = 1\cdot 0 =0\\
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x^2} &= 1\\
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x^4} &= \lim_{x\to 0} \underbrace{\frac{e^{x^2} -1}{x^2}}_{\color{maroon}{\to 1}}\ \underbrace{\frac{1}{x^2}}_{\color{maroon}{\to +\infty}} = 1\cdot (+\infty) =+\infty
\end{split}
\]
e la diversità dei risultati ti fornisce un altro (e ben fondato) motivo per l'uso della locuzione "forma indeterminata". Invero, se esistesse un teorema del tipo:
tale teorema sarebbe certamente falso, perché i tre limiti di cui sopra producono risultati diversi fra loro, sicché almeno due di essi non potrebbero coincidere con il valore \(\ell\) fornito dallo pseudo-teorema di cui sopra.
"gugo82":
si dice che un "limite è in forma indeterminata" quando non si può stabilirne il valore a priori (i.e., usando i teoremi sui limiti) prescindendo dal caso particolare (cioé senza sapere nient'altro sulle funzioni coinvolte, tranne il fatto che esse producono "robe strane" -i.e., casi non contemplati dalla teoria- quando vengono passate al limite).
ed il caso in cui il numeratore ed il denominatore di un rapporto tendano ambedue a \(0\) od a \(\infty\) è proprio uno di questi casi.
Infatti, l'algebra dei limiti non consente così su due piedi di assegnare un valore a nessuno dei tre limiti:
\[
\begin{split}
&\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x}\\
&\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x^2}\\
&\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x^4}
\end{split}
\]
perché nel teorema sul limite del rapporto non prevede che entrambi numeratore e denominatore tendano contemporaneamente a \(0\).
Tuttavia, dato che conosci le assegnazioni delle funzioni coinvolte (cioé visto che riesci a particolarizzare il problema), puoi mettere in campo tecniche che ti consentono di calcolare tutti e tre i limiti di cui sopra.
Ad esempio, usando il limite notevole dell'esponenziale ed il teorema sul limite del prodotto, trovi:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x} &= \lim_{x\to 0} \underbrace{\frac{e^{x^2} -1}{x^2}}_{\color{maroon}{\to 1}}\ \underbrace{x}_{\color{maroon}{\to 0}} = 1\cdot 0 =0\\
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x^2} &= 1\\
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} -1}{x^4} &= \lim_{x\to 0} \underbrace{\frac{e^{x^2} -1}{x^2}}_{\color{maroon}{\to 1}}\ \underbrace{\frac{1}{x^2}}_{\color{maroon}{\to +\infty}} = 1\cdot (+\infty) =+\infty
\end{split}
\]
e la diversità dei risultati ti fornisce un altro (e ben fondato) motivo per l'uso della locuzione "forma indeterminata". Invero, se esistesse un teorema del tipo:
Se \(\lim_{x\to x_0} f(x) = 0=\lim_{x\to x_0} g(x)\) e se \(g(x)\neq 0\) intorno a \(0\), allora:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =\ell
\]
(per un certo valore \(\ell\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\) indipendente da \(f\) e \(g\))
tale teorema sarebbe certamente falso, perché i tre limiti di cui sopra producono risultati diversi fra loro, sicché almeno due di essi non potrebbero coincidere con il valore \(\ell\) fornito dallo pseudo-teorema di cui sopra.
Aggiungo solamente che il limite potrebbe anche non esistere, come $lim_(x->0) (x sen(1/x))/(sen(x))$.
Grazie a gugo e a Fabricius per le risposte, che sono chiarissime (o almeno, questa è la mia impressione, perché, non certo per la chiarezza delle risposte, potrei aver capito ben poco di esse)
Mi chiedevo, però, un'altra cosa.
In fondo, ad una visione puramente miope, quale è la mia, anche un risultato del tipo \(\displaystyle l/0 \) o \(\displaystyle l/\infty \) sembra portare a nulla, cioè all'impossibilità di stabilire a priori il valore del limite. Perchè, ad esempio, per una forma del tipo \(\displaystyle l/0 \) o \(\displaystyle l/\infty \), non vedo quale teorema possa indirizzarmi alla soluzione.
Ce ne sono? Quali sono?
Allora, a una mente poco rigorosa quale è la mia, riesce più facile, sempre che sia consentito, ragionare in termini di "rapporto": cioè, limitandoci all'esempio di una forma \(\displaystyle l/0 \) e ragionando sul fatto che il rapporto tra "termini prossimi al limite l" e positivi (i valori assunti da \(\displaystyle f(x) \) con \(\displaystyle x \) scelta in un intorno di \(\displaystyle x_0 \)), e un termine molto piccolo (il denominatore che tende a \(\displaystyle 0 \), appunto) dia come valore un numero molto grande, un numero prossimo a \(\displaystyle +\infty \).
Sempre che sia giusto questo ragionamento, come lo si potrebbe estendere alle forme \(\displaystyle 0/0 \) o \(\displaystyle \infty/\infty \)? Da qui, il mio tentativo di dare una spiegazione, esposto nel primo post di questo thread, allorquando dico che, in casi più complicati in cui non riusciamo a "vedere" i grafici, l'andamento del numeratore e del denominatore del nostro rapporto, succede appunto che "non possiamo accorgerci se l'andamento del numeratore e del denominatore si avvicini più al primo esempio (numeratore con numeri molto grandi in un intorno di 0) o più al secondo, o addirittura oscilli all'impazzata tra valori grandi e piccoli, o ancora segua un del tutto inimmaginabile andamento".
Mi chiedevo, però, un'altra cosa.
In fondo, ad una visione puramente miope, quale è la mia, anche un risultato del tipo \(\displaystyle l/0 \) o \(\displaystyle l/\infty \) sembra portare a nulla, cioè all'impossibilità di stabilire a priori il valore del limite. Perchè, ad esempio, per una forma del tipo \(\displaystyle l/0 \) o \(\displaystyle l/\infty \), non vedo quale teorema possa indirizzarmi alla soluzione.
Ce ne sono? Quali sono?
Allora, a una mente poco rigorosa quale è la mia, riesce più facile, sempre che sia consentito, ragionare in termini di "rapporto": cioè, limitandoci all'esempio di una forma \(\displaystyle l/0 \) e ragionando sul fatto che il rapporto tra "termini prossimi al limite l" e positivi (i valori assunti da \(\displaystyle f(x) \) con \(\displaystyle x \) scelta in un intorno di \(\displaystyle x_0 \)), e un termine molto piccolo (il denominatore che tende a \(\displaystyle 0 \), appunto) dia come valore un numero molto grande, un numero prossimo a \(\displaystyle +\infty \).
Sempre che sia giusto questo ragionamento, come lo si potrebbe estendere alle forme \(\displaystyle 0/0 \) o \(\displaystyle \infty/\infty \)? Da qui, il mio tentativo di dare una spiegazione, esposto nel primo post di questo thread, allorquando dico che, in casi più complicati in cui non riusciamo a "vedere" i grafici, l'andamento del numeratore e del denominatore del nostro rapporto, succede appunto che "non possiamo accorgerci se l'andamento del numeratore e del denominatore si avvicini più al primo esempio (numeratore con numeri molto grandi in un intorno di 0) o più al secondo, o addirittura oscilli all'impazzata tra valori grandi e piccoli, o ancora segua un del tutto inimmaginabile andamento".
Immagina di avere una somma x+y di due numeri reali. Ci chiediamo: la somma è positiva o negativa?
Ci sono casi in cui basta conoscere la positività dei singoli addendi per dedurre quella della somma.
Ad esempio se sono entrambi positivi sappiamo già che la somma sarà positiva, senza avere ulteriori informazioni.
Analogamente se sono entrambi negativi la somma sarà di certo negativa.
Tuttavia se x e y sono uno negativo e l'altro positivo, non possiamo mica dire nulla a priori sulla somma! Ossia non possiamo stabilire se la somma sia positiva o negativa sapendo solamente la positività dei singoli addendi. Serve qualche informazione in più.
Ora, quella somma o è positiva o è negativa o è nulla, delle tre l'una: sta semplicemente a noi trovare il ragionamento corretto che ci porti a stabilire quale delle tre è vera.
Analogamente per i limiti. Spesso una funzione si ottiene a partire da due funzioni, ad esempio facendone il prodotto, o la somma, o il quoziente. Ci sono casi in cui per studiare un limite della nuova funzione è sufficiente ricondursi a quello delle funzioni di partenza. Altri in cui ciò non serve.
Quando a partire dai limiti delle funzioni di partenza non possiamo dire proprio nulla, ossia può accadere di tutto, si suol dire che siamo in presenza di una forma indeterminata.
Una forma del tipo $[l/0]$ non è propriamente indeterminata, poiché di certo, in tal caso, il limite non può essere finito.
Ci sono casi in cui basta conoscere la positività dei singoli addendi per dedurre quella della somma.
Ad esempio se sono entrambi positivi sappiamo già che la somma sarà positiva, senza avere ulteriori informazioni.
Analogamente se sono entrambi negativi la somma sarà di certo negativa.
Tuttavia se x e y sono uno negativo e l'altro positivo, non possiamo mica dire nulla a priori sulla somma! Ossia non possiamo stabilire se la somma sia positiva o negativa sapendo solamente la positività dei singoli addendi. Serve qualche informazione in più.
Ora, quella somma o è positiva o è negativa o è nulla, delle tre l'una: sta semplicemente a noi trovare il ragionamento corretto che ci porti a stabilire quale delle tre è vera.
Analogamente per i limiti. Spesso una funzione si ottiene a partire da due funzioni, ad esempio facendone il prodotto, o la somma, o il quoziente. Ci sono casi in cui per studiare un limite della nuova funzione è sufficiente ricondursi a quello delle funzioni di partenza. Altri in cui ciò non serve.
Quando a partire dai limiti delle funzioni di partenza non possiamo dire proprio nulla, ossia può accadere di tutto, si suol dire che siamo in presenza di una forma indeterminata.
Una forma del tipo $[l/0]$ non è propriamente indeterminata, poiché di certo, in tal caso, il limite non può essere finito.
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