Limiti dei valori assoluti
Salve a tutti, volevo avere un chiarimento sui limiti dei valori assoluti.
Passiamo subito al nocciolo della questione:
Se ho il limite \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} {\frac{|x|}{x}} \), esso fa 1, perchè essendo x tendente a 0 da destra possiamo scrivere il limite come \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} {\frac{x}{x}} \) (semplificando le x).
Se invece ho il limite \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} {\frac{|x|}{x}} \), esso fa -1, perchè essendo x tendente a 0 da sinistra possiamo scrivere il limite come \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} {\frac{-x}{x}} \) (semplificando le x).
E fin qui ci siamo.
Non ho ben chiaro il discorso quando invece x tende a \(\displaystyle {- \infty} \) ed abbiamo un valore assoluto nel limite; per esempio, se ho un limite del genere:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} {-|x|} \), fa \(\displaystyle {- \infty} \) e non ci sono dubbi.
Se però abbiamo nello stesso limite x tendente a \(\displaystyle {- \infty} \), ovvero \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} {-|x|} \), che risultato abbiamo?
1) \(\displaystyle {-\infty} \) perchè "eliminando" il valore assoluto \(\displaystyle {-\infty} \) diventa \(\displaystyle {+\infty} \) e poi col meno fuori diventa nuovamente \(\displaystyle {-\infty} \)?
2) Oppure fa \(\displaystyle {+\infty} \) perchè possiamo scrivere il limite come \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} {-x} \) e quindi \(\displaystyle {-\infty} \) col meno fa \(\displaystyle {+\infty} \)?
Grazie mille.
Passiamo subito al nocciolo della questione:
Se ho il limite \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} {\frac{|x|}{x}} \), esso fa 1, perchè essendo x tendente a 0 da destra possiamo scrivere il limite come \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} {\frac{x}{x}} \) (semplificando le x).
Se invece ho il limite \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} {\frac{|x|}{x}} \), esso fa -1, perchè essendo x tendente a 0 da sinistra possiamo scrivere il limite come \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} {\frac{-x}{x}} \) (semplificando le x).
E fin qui ci siamo.
Non ho ben chiaro il discorso quando invece x tende a \(\displaystyle {- \infty} \) ed abbiamo un valore assoluto nel limite; per esempio, se ho un limite del genere:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} {-|x|} \), fa \(\displaystyle {- \infty} \) e non ci sono dubbi.
Se però abbiamo nello stesso limite x tendente a \(\displaystyle {- \infty} \), ovvero \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} {-|x|} \), che risultato abbiamo?
1) \(\displaystyle {-\infty} \) perchè "eliminando" il valore assoluto \(\displaystyle {-\infty} \) diventa \(\displaystyle {+\infty} \) e poi col meno fuori diventa nuovamente \(\displaystyle {-\infty} \)?
2) Oppure fa \(\displaystyle {+\infty} \) perchè possiamo scrivere il limite come \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} {-x} \) e quindi \(\displaystyle {-\infty} \) col meno fa \(\displaystyle {+\infty} \)?
Grazie mille.
Risposte
Disegna il grafico della funzione $f(x) = -|x|$ (che puoi ottenere dal grafico di $g(x) = |x|$ per simmetria rispetto all'asse delle $x$).
"Rigel":
Disegna il grafico della funzione $f(x) = -|x|$ (che puoi ottenere dal grafico di $g(x) = |x|$ per simmetria rispetto all'asse delle $x$).
Dal grafico, che ho tracciato "ribaltando" quello di $|x|$, sembrerebbe che la curva $-|x|$ va a $-\infty$ sia quando x tende a $-\infty$ sia quando x tende a $+\infty$; mi sono quindi risposto da solo, direi.. giusto?
Giusto.
"Rigel":
Giusto.
Grazie mille per l'ausilio. Si può chiudere.
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